题目
设随机变量 X ~N ( 0 , 1 ) , Y = 2 X - 2 则 A Y ~ N ( -2 , 1 ) B Y ~ N ( -1 , 4 ) C Y ~ N ( -2 , 4 ) D Y ~ N ( 0 , 1 )
设随机变量 X ~N ( 0 , 1 ) , Y = 2 X - 2 则
A Y ~ N ( -2 , 1 )
B Y ~ N ( -1 , 4 )
C Y ~ N ( -2 , 4 )
D Y ~ N ( 0 , 1 )
题目解答
答案
容易得知，E(X)=0,D(X)=1;
由数学期望的性质，可得
E(Y) = E(2X-2) = E(2X)+E(-2)=2E(X)+E(-2)=-2；
由方差的性质，可得
D(Y) = D(2X-2) = D(2X)+D(-2) +E{[2X-E(2X)][-2-E(-2)]}=D(2X)+D(-2)=4D(X)+0=4;
所以本题选 C。
解析
步骤 1：确定 X 的数学期望和方差
由于 X ~ N(0, 1)，即 X 服从均值为 0，方差为 1 的正态分布，因此 E(X) = 0，D(X) = 1。
步骤 2：计算 Y 的数学期望
Y = 2X - 2，根据数学期望的线性性质，E(Y) = E(2X - 2) = 2E(X) - 2 = 2 * 0 - 2 = -2。
步骤 3：计算 Y 的方差
根据方差的性质，D(Y) = D(2X - 2) = D(2X) + D(-2) = 4D(X) + 0 = 4 * 1 = 4。这里使用了方差的线性性质，D(aX + b) = a^2D(X)，其中 a = 2，b = -2。
由于 X ~ N(0, 1)，即 X 服从均值为 0，方差为 1 的正态分布，因此 E(X) = 0，D(X) = 1。
步骤 2：计算 Y 的数学期望
Y = 2X - 2，根据数学期望的线性性质，E(Y) = E(2X - 2) = 2E(X) - 2 = 2 * 0 - 2 = -2。
步骤 3：计算 Y 的方差
根据方差的性质，D(Y) = D(2X - 2) = D(2X) + D(-2) = 4D(X) + 0 = 4 * 1 = 4。这里使用了方差的线性性质，D(aX + b) = a^2D(X)，其中 a = 2，b = -2。