题目
单选|(3分)-|||-极限 lim _(xarrow 0)((1-2x))^dfrac (1{x)}= __-|||-A. e^2-|||-B.-|||-e-|||-C.-|||-^-2-|||-D.-|||-^-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：将极限表达式转换为指数形式
将给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}}$ 转换为指数形式，以便于使用自然对数和指数函数的性质进行计算。我们首先将表达式写为 $e^{\ln{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}}}$，即 $e^{\dfrac {1}{x}\ln{(1-2x)}}$。
步骤 2：计算指数部分的极限
计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}\ln{(1-2x)}$。由于 $\ln{(1-2x)}$ 在 $x\rightarrow 0$ 时可以使用泰勒展开式 $\ln{(1-2x)} \approx -2x$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}\ln{(1-2x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(-2x) = -2$。
步骤 3：将指数部分的极限代入原表达式
将步骤 2 中计算得到的极限值 $-2$ 代入原表达式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}} = e^{-2}$。
将给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}}$ 转换为指数形式，以便于使用自然对数和指数函数的性质进行计算。我们首先将表达式写为 $e^{\ln{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}}}$，即 $e^{\dfrac {1}{x}\ln{(1-2x)}}$。
步骤 2：计算指数部分的极限
计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}\ln{(1-2x)}$。由于 $\ln{(1-2x)}$ 在 $x\rightarrow 0$ 时可以使用泰勒展开式 $\ln{(1-2x)} \approx -2x$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}\ln{(1-2x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(-2x) = -2$。
步骤 3：将指数部分的极限代入原表达式
将步骤 2 中计算得到的极限值 $-2$ 代入原表达式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}} = e^{-2}$。