设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为X~ 1 2 3-|||-θ^2 2θ(1-θ) ((1-theta ))^2其中0＜θ＜1．分别以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求1、未知参数θ的最大似然估计量；2、未知参数θ的矩估计量；3、当样本值为1，1，2，1，3，2时的最大似然估计值和矩估计值．

步骤 1：求参数θ的最大似然估计量
样本X_1，X_2，…，X_n中1，2和3出现的次数分别为v_1，v_2和n-v_1-v_2，则似然函数和似然方程为
$L(\theta )={\theta }^{2{v}_{1}}\cdot {2}^{2}\theta (1-\theta )\cdot {(1-\theta )}^{2(n-{v}_{1}-{v}_{2})}$
$\ln L(\theta )=2{v}_{1}\ln \theta +{v}_{2}\ln 2+{v}_{2}\ln \theta +{v}_{2}\ln (1-\theta )+2(n-{v}_{1}-{v}_{2})\ln (1-\theta )$
$\dfrac {d[ \ln L(\theta )] }{d\theta }=\dfrac {2{v}_{1}+{v}_{2}}{\theta }-\dfrac {2n-2{v}_{1}-{v}_{2}}{1-\theta }=0$
似然方程的唯一解就是参数θ的最大似然估计量$\hat {\theta }=\dfrac {2{v}_{1}+{v}_{2}}{2n}$

步骤 2：求参数θ的矩估计量
总体X的数学期望为
$EX={\theta }^{2}+2\theta (1-\theta )\cdot 2+3{(1-\theta )}^{2}$
在上式中用样本均值$\overline {X}$估计数学期望EX，可得θ的矩估计量$\hat {\theta }=\dfrac {1}{2}(3-\overline {X})$

步骤 3：求最大似然估计值和矩估计值
对于样本值1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值$\theta =\dfrac {2{v}_{1}+{v}_{2}}{2n}=\dfrac {2\times 3+2}{12}=\dfrac {2}{3}$，矩估计值$\theta =\dfrac {1}{2}(3-\overline {X})=\dfrac {3}{2}-\dfrac {5}{6}=\dfrac {2}{3}$