题目
6.3 设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= ) theta (x)^theta -1,0lt xlt 1 0, .-|||-其中 gt 0. 如果取得样本观测值为x1,x2,···,xn,求参数θ的矩估计值与最大似然估计值.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查参数估计中的矩估计法和最大似然估计法的应用。
解题思路：
- 矩估计：通过比较总体的一阶原点矩（期望）与样本矩（样本均值），建立方程求解参数θ。
- 最大似然估计：构造似然函数，取对数后求导，解方程得到θ的估计值。
关键点：
- 矩估计需正确计算总体期望；
- 最大似然估计需注意对数似然函数的求导和求解过程。
矩估计值的求解
- 计算总体期望：
总体X的概率密度为$f(x;\theta) = \theta x^{\theta-1}$，其期望为：
$E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot \theta x^{\theta-1} \, dx = \theta \int_{0}^{1} x^{\theta} \, dx = \theta \cdot \frac{1}{\theta+1} = \frac{\theta}{\theta+1}$ - 建立矩方程：
样本均值$\overline{X}$作为总体期望的估计，即$\overline{X} = \frac{\theta}{\theta+1}$。 - 解方程求θ：
由$\overline{X} = \frac{\theta}{\theta+1}$，解得：
$\hat{\theta}_{\text{矩}} = \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}}$
最大似然估计值的求解
- 构造似然函数：
样本的似然函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta-1}$ - 取对数并求导：
对数似然函数为：
$\ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$
对θ求导并令导数为0：
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$ - 解方程求θ：
解得：
$\hat{\theta}_{\text{MLE}} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$
注意：题目答案中的“θ = -n ln x”可能存在表述问题，正确形式应为θ与样本对数和相关。