6.(单选题，16.7分)【单选题】23.某种型号器件的寿命为X(以小时计)具有概率密度为f(x)=}1000/x^2,x>1000,0,其他现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少()。A. 2/3B. 232/243C. 131/243D. 1/3

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的概率计算及二项分布的应用。
解题思路：

1. 确定单个器件寿命超过1500小时的概率：通过积分概率密度函数求得。
2. 建立二项分布模型：将问题转化为“5次独立试验中至少成功2次”的概率。
3. 计算反向概率简化运算：利用“1 - 至多1次成功”的概率，减少计算量。

破题关键：

• 正确计算概率密度函数的积分，明确生存概率的计算方法。
• 灵活运用二项分布的性质，通过补集简化复杂事件的概率计算。

步骤1：计算单个器件寿命超过1500小时的概率

概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1000}{x^2}, & x > 1000, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
所求概率为：
$P(X > 1500) = \int_{1500}^{+\infty} \dfrac{1000}{x^2} \, dx.$
计算积分：
$\int_{1500}^{+\infty} \dfrac{1000}{x^2} \, dx = \left[ -\dfrac{1000}{x} \right]_{1500}^{+\infty} = 0 - \left( -\dfrac{1000}{1500} \right) = \dfrac{2}{3}.$
因此，单个器件寿命超过1500小时的概率为$\dfrac{2}{3}$。

步骤2：建立二项分布模型

设$Y$为5只器件中寿命超过1500小时的数量，则$Y \sim B\left(5, \dfrac{2}{3}\right)$。
题目要求$P(Y \geq 2)$，等价于：
$P(Y \geq 2) = 1 - P(Y \leq 1).$

步骤3：计算反向概率

• $P(Y = 0)$：
  $C_5^0 \left( \dfrac{2}{3} \right)^0 \left( \dfrac{1}{3} \right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{243} = \dfrac{1}{243}.$
• $P(Y = 1)$：
  $C_5^1 \left( \dfrac{2}{3} \right)^1 \left( \dfrac{1}{3} \right)^4 = 5 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{10}{243}.$
  因此，
  $P(Y \leq 1) = \dfrac{1}{243} + \dfrac{10}{243} = \dfrac{11}{243}.$

步骤4：最终结果

$P(Y \geq 2) = 1 - \dfrac{11}{243} = \dfrac{232}{243}.$