个 相互独立服从泊松分布的随机变量的和仍服从泊松分布 . A. 对 B. 错

泊松分布的可加性是本题的核心考查点。题目要求判断两个独立泊松分布随机变量的和是否仍服从泊松分布。关键在于理解独立泊松变量之和的参数为原参数之和，这一性质可通过概率母函数或直接计算概率质量函数验证。

步骤1：设定变量与目标

设$X_1 \sim P(\lambda_1)$，$X_2 \sim P(\lambda_2)$，且相互独立。目标证明$X_1 + X_2 \sim P(\lambda_1 + \lambda_2)$。

步骤2：计算联合概率

对任意非负整数$n$，有：
$P(X_1 + X_2 = n) = \sum_{k=0}^n P(X_1 = k) \cdot P(X_2 = n - k)$

步骤3：代入泊松分布公式

$\begin{aligned}P(X_1 + X_2 = n) &= \sum_{k=0}^n \frac{e^{-\lambda_1} \lambda_1^k}{k!} \cdot \frac{e^{-\lambda_2} \lambda_2^{n-k}}{(n-k)!} \\&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \sum_{k=0}^n \frac{\lambda_1^k \lambda_2^{n-k}}{k! (n-k)!}\end{aligned}$

步骤4：化简求和项

利用二项式定理，$\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} = (\lambda_1 + \lambda_2)^n$，因此：
$P(X_1 + X_2 = n) = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} (\lambda_1 + \lambda_2)^n}{n!}$

步骤5：结论

$X_1 + X_2$服从参数为$\lambda_1 + \lambda_2$的泊松分布，故原命题正确。