题目
(2)ointlimits_(L)xydx，其中L为圆周(x-a)^2+y^2=a^2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
(2)$\oint\limits_{L}xydx$，其中L为圆周(x-a)
$^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$及x轴所围成的在第一象
限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
题目解答
答案
将圆周参数化为 $x = a + a\cos t$，$y = a\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$。计算 $dx = -a\sin t \, dt$，代入积分得：
\[
\int_0^\pi (a + a\cos t)(a\sin t)(-a\sin t) \, dt = -a^3 \int_0^\pi \sin^2 t (1 + \cos t) \, dt.
\]
拆分并计算：
\[
-a^3 \left[ \int_0^\pi \sin^2 t \, dt + \int_0^\pi \sin^2 t \cos t \, dt \right] = -a^3 \left[ \frac{\pi}{2} + 0 \right] = -\frac{\pi}{2} a^3.
\]
直线段积分贡献为 $0$，故总积分为：
\[
\boxed{-\frac{\pi}{2} a^3}.
\]
解析
步骤 1：参数化圆周
将圆周参数化为 $x = a + a\cos t$，$y = a\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$。这是因为圆周方程 $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ 可以通过参数化来表示，其中 $t$ 是参数，$t$ 的取值范围是 $0$ 到 $\pi$，因为题目要求的是第一象限内的区域。
步骤 2：计算 $dx$
计算 $dx = -a\sin t \, dt$，这是因为 $x = a + a\cos t$，对 $x$ 求导得到 $dx = -a\sin t \, dt$。
步骤 3：代入积分
代入积分得： \[ \int_0^\pi (a + a\cos t)(a\sin t)(-a\sin t) \, dt = -a^3 \int_0^\pi \sin^2 t (1 + \cos t) \, dt. \] 这是因为将 $x$ 和 $y$ 的参数化表达式代入积分中，得到上述积分表达式。
步骤 4：拆分并计算
拆分并计算： \[ -a^3 \left[ \int_0^\pi \sin^2 t \, dt + \int_0^\pi \sin^2 t \cos t \, dt \right] = -a^3 \left[ \frac{\pi}{2} + 0 \right] = -\frac{\pi}{2} a^3. \] 这是因为将积分拆分为两个部分，分别计算，得到上述结果。
步骤 5：直线段积分贡献为 $0$
直线段积分贡献为 $0$，这是因为直线段在 $x$ 轴上，$y=0$，所以 $xy=0$，积分结果为 $0$。
步骤 6：总积分
故总积分为： \[ \boxed{-\frac{\pi}{2} a^3}. \] 这是因为将圆周积分和直线段积分的结果相加，得到总积分结果。
将圆周参数化为 $x = a + a\cos t$，$y = a\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$。这是因为圆周方程 $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ 可以通过参数化来表示，其中 $t$ 是参数，$t$ 的取值范围是 $0$ 到 $\pi$，因为题目要求的是第一象限内的区域。
步骤 2：计算 $dx$
计算 $dx = -a\sin t \, dt$，这是因为 $x = a + a\cos t$，对 $x$ 求导得到 $dx = -a\sin t \, dt$。
步骤 3：代入积分
代入积分得： \[ \int_0^\pi (a + a\cos t)(a\sin t)(-a\sin t) \, dt = -a^3 \int_0^\pi \sin^2 t (1 + \cos t) \, dt. \] 这是因为将 $x$ 和 $y$ 的参数化表达式代入积分中，得到上述积分表达式。
步骤 4：拆分并计算
拆分并计算： \[ -a^3 \left[ \int_0^\pi \sin^2 t \, dt + \int_0^\pi \sin^2 t \cos t \, dt \right] = -a^3 \left[ \frac{\pi}{2} + 0 \right] = -\frac{\pi}{2} a^3. \] 这是因为将积分拆分为两个部分，分别计算，得到上述结果。
步骤 5：直线段积分贡献为 $0$
直线段积分贡献为 $0$，这是因为直线段在 $x$ 轴上，$y=0$，所以 $xy=0$，积分结果为 $0$。
步骤 6：总积分
故总积分为： \[ \boxed{-\frac{\pi}{2} a^3}. \] 这是因为将圆周积分和直线段积分的结果相加，得到总积分结果。