题目
1.8 对某地抽样调查的结果表明，考生的数学成绩（百分制）X服从正态分布N(72,sigma^2)，96分以上的占考生总数的2.28%，试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率p。(附：Phi(1)=0.8413，Phi(2)=0.9772)
1.8 对某地抽样调查的结果表明，考生的数学成绩（百分制）X服从正态分布$N(72,\sigma^{2})$，96分以上的占考生总数的2.28%，试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率p。(附：$\Phi(1)$=0.8413，$\Phi(2)$=0.9772)
题目解答
答案
设考生数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N(72, \sigma^2)$，已知 $P(X > 96) = 0.0228$。
1. **确定标准差 $\sigma$**：
由 $P\left(Z > \frac{96 - 72}{\sigma}\right) = 0.0228$，且 $P(Z > 2) = 0.0228$，得 $\sigma = 12$。
2. **计算 $P(60 < X < 84)$**：
转化为标准正态分布：
\[
P\left(\frac{60 - 72}{12} < Z < \frac{84 - 72}{12}\right) = P(-1 < Z < 1)
\]
由标准正态分布表，$\Phi(1) = 0.8413$，则：
\[
P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 0.8413 - (1 - 0.8413) = 0.6826
\]
**答案：** $\boxed{0.6826}$
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换、利用标准正态分布函数Φ(z)求解概率，以及对称性的应用。
解题核心思路：
- 确定标准差σ：利用已知条件P(X > 96) = 2.28%，将其转化为标准正态分布问题，找到对应的z值，进而求出σ。
- 计算目标区间概率：将60分和84分转化为标准正态变量Z，利用Φ(z)的对称性计算区间概率。
破题关键点：
- 标准化转换：将原始正态分布转化为标准正态分布Z，公式为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
- 利用已知Φ(z)值：通过题目附带的Φ(1)和Φ(2)值，快速计算区间概率。
1. 确定标准差σ
已知$P(X > 96) = 0.0228$，将其标准化：
$Z = \frac{96 - 72}{\sigma}$
根据标准正态分布表，$P(Z > 2) = 0.0228$，因此：
$\frac{96 - 72}{\sigma} = 2 \implies \sigma = \frac{24}{2} = 12$
2. 计算P(60 < X < 84)
将60和84标准化：
$Z_1 = \frac{60 - 72}{12} = -1, \quad Z_2 = \frac{84 - 72}{12} = 1$
目标概率转化为：
$P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)$
利用对称性$\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$，代入已知$\Phi(1) = 0.8413$：
$P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - (1 - 0.8413) = 0.6826$