题目
设总体X服从均匀分布U[0,θ],它的密度函数为-|||-(x;theta )= { ,0leqslant xleqslant theta 0, .-|||-(1)求未知参数θ的矩估计量;-|||-(2)当样本观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时,求θ的矩估计值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求未知参数θ的矩估计量
首先，我们需要计算总体X的期望值E(X)。由于X服从均匀分布U[0,θ]，其密度函数为$f(x;\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{\theta },0\leqslant x\leqslant \theta \\ 0,\end{matrix} \right.$，因此，E(X)的计算如下：
$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x;\theta )dx=\dfrac {1}{\theta }{\int }_{0}^{\theta }xdx=\dfrac {\theta }{2}$
步骤 2：令E(X)等于样本均值
根据矩估计法，我们令总体的期望值E(X)等于样本均值$\overline {X}$，即$\dfrac {\theta }{2}=\overline {X}$，从而得到θ的矩估计量$\hat {\theta }=2\overline {X}$。
步骤 3：计算θ的矩估计值
当样本观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时，我们首先计算样本均值$\overline {x}=\dfrac {1}{6}\sum _{i=1}^{6}{x}_{i}=\dfrac {1}{6}(0.3+0.8+0.27+0.35+0.62+0.55)=0.4817$。然后，根据步骤2中得到的矩估计量$\hat {\theta }=2\overline {X}$，计算θ的矩估计值$\hat {\theta }=2\overline {x}=0.9634$。
首先，我们需要计算总体X的期望值E(X)。由于X服从均匀分布U[0,θ]，其密度函数为$f(x;\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{\theta },0\leqslant x\leqslant \theta \\ 0,\end{matrix} \right.$，因此，E(X)的计算如下：
$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x;\theta )dx=\dfrac {1}{\theta }{\int }_{0}^{\theta }xdx=\dfrac {\theta }{2}$
步骤 2：令E(X)等于样本均值
根据矩估计法，我们令总体的期望值E(X)等于样本均值$\overline {X}$，即$\dfrac {\theta }{2}=\overline {X}$，从而得到θ的矩估计量$\hat {\theta }=2\overline {X}$。
步骤 3：计算θ的矩估计值
当样本观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时，我们首先计算样本均值$\overline {x}=\dfrac {1}{6}\sum _{i=1}^{6}{x}_{i}=\dfrac {1}{6}(0.3+0.8+0.27+0.35+0.62+0.55)=0.4817$。然后，根据步骤2中得到的矩估计量$\hat {\theta }=2\overline {X}$，计算θ的矩估计值$\hat {\theta }=2\overline {x}=0.9634$。