题目
(4)若Xsim N(mu,sigma^2)，则(X-mu)/(sigma)simN(0,1)____，((X-mu)/(sigma))^2simχ²(1)____。
(4)若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$\frac{X-\mu}{\sigma}\sim$N(0,1)____，$(\frac{X-\mu}{\sigma})^{2}\sim$χ²(1)____。
题目解答
答案
为了解决给定的题目，我们需要理解正态分布和卡方分布的性质。让我们一步步来分析。
1. **正态分布的标准化:**
如果 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，这意味着 $ X $ 是一个均值为 $ \mu $ 和方差为 $ \sigma^2 $ 的正态随机变量。为了标准化 $ X $，我们从 $ X $ 中减去均值 $ \mu $，然后除以标准差 $ \sigma $。得到的随机变量是:
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]
标准化正态分布的性质是 $ Z $ 遵循均值为0和方差为1的正态分布，即 $ Z \sim N(0, 1) $。
2. **标准正态变量的平方:**
如果 $ Z \sim N(0, 1) $，那么 $ Z^2 $ 遵循自由度为1的卡方分布。这是因为卡方分布定义为标准正态变量的平方和。对于一个标准正态变量，平方和就是变量的平方本身，因此 $ Z^2 \sim \chi^2(1) $。
将这些结果应用到题目中，我们得到:
\[
\frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)
\]
\[
\left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(1)
\]
因此，答案是:
\[
\boxed{\text{正确, 正确}}
\]
解析
本题本题主要考查正态分布的标准化以及标准正态分布与卡方分布的关系关系。解题思路如下：先根据正态分布标准化的定义判断$\frac{X - \mu}{\sigma}$的分布，再依据卡方分布的定义判断$\chi^{2}(n)=\sum_{i = 1}^{n}Z_{i}^{2}$（其中$Z_{i}\sim}N(0,1)$且相互独立）判断$(\frac{X - \mu}{\sigma})^{2}$的分布。
- 判断$\frac{X - \mu}{\sigma}$的分布：
- 已知$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，根据正态分布标准化的定义，对于任意一个服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$}))的随机变量$X$，通过变换$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，可以将其转化为标准正态分布。
- 标准正态分布的均值$E(Z)=E(\frac{X - \mu}{\sigma})=\frac{1}{\sigma}E(X - \mu)$，因为$E(X)=\mu$，所以$E(Z)=\frac{1\sigma(\mu - \mu)=0$。
- 标准正态分布的方差$D(Z)=D(\frac{X - \mu}{\sigma})=\frac{1}{\sigma^{2}}D(X)$，又因为$D(X)=\sigma^{2}$，所以$D(Z)=\frac{1}{\sigma^{2}}\times\sigma^{2}=1$。
- 因此，$\(\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，第一个空应填“正确”。
- 判断$(\frac{X - \mu}{\sigma})^{2}$的分布：
- 由前面已得出$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，设$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则$Z\sim N(0,1)$。
- 根据卡方分布的定义，若$Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{n}}$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\chi^{2}(n)=\sum_{i = 1}^{n}Z_{i}^{2}$。
- 当$n = 1$时，$\chi^{2}(1)=Z^{2}$，这里$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，所以$(\frac{X - \mu}{\sigma})^{2}\sim\chi^{2}(1)$，第二个空应填“正确”。