13.(简答题，24分)注意：请将本题作答在纸上，要求：写清楚班级、姓名、学号，并拍照清晰上传。设总体X的概率密度为f(x)=}(theta+1)x^theta,&0<10,&其他其中theta>0未知，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体的样本，求：参数theta的最大似然估计.

为了找到参数$\theta$的最大似然估计，我们需要遵循以下步骤： 1. 写出似然函数。 2. 对似然函数取自然对数。 3. 对对数似然函数关于$\theta$求导。 4. 将导数设为零并解出$\theta$。 让我们从第一步开始。 **步骤1：写出似然函数。** 似然函数$L(\theta)$是$n$个样本的联合概率密度函数。由于样本是独立同分布的，似然函数是每个样本概率密度函数的乘积： \[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i) = \prod_{i=1}^n (\theta+1)X_i^\theta. \] 这可以重写为： \[ L(\theta) = (\theta+1)^n \prod_{i=1}^n X_i^\theta. \] **步骤2：对似然函数取自然对数。** 对数似然函数$\ell(\theta)$是似然函数的自然对数： \[ \ell(\theta) = \ln L(\theta) = \ln \left( (\theta+1)^n \prod_{i=1}^n X_i^\theta \right). \] 使用对数的性质，我们得到： \[ \ell(\theta) = n \ln (\theta+1) + \theta \sum_{i=1}^n \ln X_i. \] **步骤3：对对数似然函数关于$\theta$求导。** 对$\ell(\theta)$关于$\theta$求导，我们得到： \[ \frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{n}{\theta+1} + \sum_{i=1}^n \ln X_i. \] **步骤4：将导数设为零并解出$\theta$。** 将导数设为零，我们得到： \[ \frac{n}{\theta+1} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0. \] 重新排列项，我们得到： \[ \frac{n}{\theta+1} = -\sum_{i=1}^n \ln X_i. \] 解出$\theta$，我们得到： \[ \theta+1 = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}, \] \[ \theta = -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}. \] 由于$\ln X_i < 0$对于$0 < X_i < 1$，$-\sum_{i=1}^n \ln X_i > 0$，所以$\theta$是正的。因此，参数$\theta$的最大似然估计是： \[ \hat{\theta} = -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}. \] 最终答案是： \[ \boxed{-1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}}. \]