题目
设随机变量序列 X_1, X_2,..., X_n,... 独立同分布，且 E(X_i)= mu, D(X_i)= sigma^2, sigma > 0, i=1,2,.... Phi(x) 为标准正态分布函数，则对于任意实数 x， lim_(n to infty) P(sum_{i=1)^n X_i - nmu)/(sqrt(n)sigma) geq x} = ( )A. 0B. Phi(x)C. 1 - Phi(x)D. 1
设随机变量序列 $X_1$, $X_2$,..., $X_n$,... 独立同分布，且 $E(X_i)= \mu$, $D(X_i)= \sigma^2$, $\sigma > 0$, $i=1,2,\cdots$. $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则对于任意实数 $x$， $\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \geq x\right\} = (\quad)$
A. 0
B. $\Phi(x)$
C. $1 - \Phi(x)$
D. 1
题目解答
答案
C. $1 - \Phi(x)$
解析
步骤 1：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当 $n$ 趋于无穷大时，标准化变量 $\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 近似服从标准正态分布。因此，对于任意实数 $x$， \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \leq x\right\} = \Phi(x) \]
步骤 2：利用概率的补集性质
利用概率的补集性质， \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \geq x\right\} = 1 - \Phi(x) \]
根据中心极限定理，当 $n$ 趋于无穷大时，标准化变量 $\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 近似服从标准正态分布。因此，对于任意实数 $x$， \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \leq x\right\} = \Phi(x) \]
步骤 2：利用概率的补集性质
利用概率的补集性质， \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \geq x\right\} = 1 - \Phi(x) \]