一批产品的不合格品率为 0.02，现从中任取 40 件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品。分别用以下方法求拒收的概率：(1) 用二项分布作精确计算；(2) 用泊松分布作近似计算。

我们来逐步分析并解决这个概率问题。

题目分析：

已知：

• 不合格品率：$ p = 0.02 $
• 抽取样本数：$ n = 40 $
• 拒收条件：发现 两件或两件以上 不合格品

记随机变量 $ X $ 为 40 件产品中的不合格品数。

(1) 用二项分布作精确计算

步骤一：设定分布

不合格品数 $ X \sim \text{Bin}(n=40, p=0.02) $

我们要计算的是 拒收概率，即：

$P(\text{拒收}) = P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

步骤二：计算各项概率

计算 $ P(X = 0) $：

$P(X = 0) = \binom{40}{0} (0.02)^0 (1 - 0.02)^{40} = 1 \cdot 1 \cdot (0.98)^{40}$

$(0.98)^{40} \approx 0.4457$

计算 $ P(X = 1) $：

$P(X = 1) = \binom{40}{1} (0.02)^1 (0.98)^{39} = 40 \cdot 0.02 \cdot (0.98)^{39}$

$(0.98)^{39} \approx 0.4548$

$P(X = 1) \approx 40 \cdot 0.02 \cdot 0.4548 = 0.3638$

步骤三：计算拒收概率

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0.4457 - 0.3638 = 0.1905$

(2) 用泊松分布作近似计算

当 $ n $ 较大，$ p $ 较小，且 $ \lambda = np $ 适中时，二项分布 $ \text{Bin}(n, p) $ 可用泊松分布近似：

$X \sim \text{Poisson}(\lambda = np = 40 \times 0.02 = 0.8)$

同样，我们要计算：

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

步骤一：计算各项概率

泊松分布公式：

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

计算 $ P(X = 0) $：

$P(X = 0) = \frac{e^{-0.8} \cdot 0.8^0}{0!} = e^{-0.8} \approx 0.4493$

计算 $ P(X = 1) $：

$P(X = 1) = \frac{e^{-0.8} \cdot 0.8^1}{1!} = 0.8 \cdot e^{-0.8} \approx 0.8 \cdot 0.4493 = 0.3594$

步骤二：计算拒收概率

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0.4493 - 0.3594 = 0.1913$

最终答案：

• (1) 二项分布精确计算： 拒收概率约为 $ \boxed{0.1905} $
• (2) 泊松分布近似计算： 拒收概率约为 $ \boxed{0.1913} $

两种方法结果非常接近，说明泊松近似在这个情况下是合理的。