题目
已知随机变量 X 与 Y 的相关系数rho xy=0.5 ,且rho xy=0.5 ,则 rho xy=0.5 ( ) A ) 28 B ) 32C ) 40 D ) 52
已知随机变量 X 与 Y 的相关系数
,且
,则 
( )
A ) 28
B ) 32
C ) 40
D ) 52
题目解答
答案
∵已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 ,且；
∴
∴
故答案为A。
解析
步骤 1：计算协方差
根据相关系数的定义，协方差$Cov(X,Y)$可以通过相关系数$\rho_{xy}$和标准差$\sigma_x$、$\sigma_y$计算得出。已知$\rho_{xy}=0.5$，$D(X)=4$，$D(Y)=1$，则$\sigma_x=\sqrt{D(X)}=\sqrt{4}=2$，$\sigma_y=\sqrt{D(Y)}=\sqrt{1}=1$。因此，$Cov(X,Y)=\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y=0.5\times2\times1=1$。
步骤 2：计算D(3X-2Y)
根据方差的性质，$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)$。将$a=3$，$b=-2$，$D(X)=4$，$D(Y)=1$，$Cov(X,Y)=1$代入，得到$D(3X-2Y)=3^2D(X)+(-2)^2D(Y)+2\times3\times(-2)Cov(X,Y)=9\times4+4\times1-12\times1=36+4-12=28$。
根据相关系数的定义，协方差$Cov(X,Y)$可以通过相关系数$\rho_{xy}$和标准差$\sigma_x$、$\sigma_y$计算得出。已知$\rho_{xy}=0.5$，$D(X)=4$，$D(Y)=1$，则$\sigma_x=\sqrt{D(X)}=\sqrt{4}=2$，$\sigma_y=\sqrt{D(Y)}=\sqrt{1}=1$。因此，$Cov(X,Y)=\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y=0.5\times2\times1=1$。
步骤 2：计算D(3X-2Y)
根据方差的性质，$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)$。将$a=3$，$b=-2$，$D(X)=4$，$D(Y)=1$，$Cov(X,Y)=1$代入，得到$D(3X-2Y)=3^2D(X)+(-2)^2D(Y)+2\times3\times(-2)Cov(X,Y)=9\times4+4\times1-12\times1=36+4-12=28$。