题目
设 X,Y 为两个任意的随机变量，若 mathbb(E)(XY)= mathbb(E) mathbb(E)(Y)，则() A.D(X+Y)= D + D(Y) B.D(XY)= D D(Y) C. X 和 Y 相关D. X 和 Y 相互独立
设 $X,Y$ 为两个任意的随机变量，若 $\mathbb{E}(XY)= \mathbb{E}
\mathbb{E}(Y)$，则()
A.$D(X+Y)= D
+ D(Y)$
B.$D(XY)= D
D(Y)$
- C. $X$ 和 $Y$ 相关
- D. $X$ 和 $Y$ 相互独立
题目解答
答案
为了确定给定 $E(XY) = E(X)E(Y)$ 时正确的选项，让我们逐步分析每个选项。
### 选项A: $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$
两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的和的方差由下式给出：
\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y),\]
其中 $\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。协方差定义为：
\[\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y).\]
给定 $E(XY) = E(X)E(Y)$，我们有：
\[\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0.\]
因此，
\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \cdot 0 = D(X) + D(Y).\]
所以，选项A是正确的。
### 选项B: $D(XY) = D(X)D(Y)$
两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的乘积的方差没有像和的方差那样简单的公式。一般而言，$D(XY) \neq D(X)D(Y)$。因此，选项B是不正确的。
### 选项C: $X$ 和 $Y$ 相关
如果 $E(XY) = E(X)E(Y)$，则协方差 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。协方差为零意味着 $X$ 和 $Y$ 不相关。因此，选项C是不正确的。
### 选项D: $X$ 和 $Y$ 相互独立
如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$。然而，逆命题不一定为真。协方差为零（即 $E(XY) = E(X)E(Y)$）只意味着 $X$ 和 $Y$ 不相关，这比独立性要弱。因此，选项D是不正确的。
根据分析，正确的选项是：
\[\boxed{A}\]
解析
步骤 1：理解方差和协方差的定义
方差 $D(X)$ 表示随机变量 $X$ 的离散程度，定义为 $D(X) = E[(X - E(X))^2]$。协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 表示两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的线性相关程度，定义为 $\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$。
步骤 2：分析选项A
两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的和的方差由下式给出：\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y),\] 其中 $\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。协方差定义为：\[\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y).\] 给定 $E(XY) = E(X)E(Y)$，我们有：\[\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0.\] 因此，\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \cdot 0 = D(X) + D(Y).\] 所以，选项A是正确的。
步骤 3：分析选项B
两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的乘积的方差没有像和的方差那样简单的公式。一般而言，$D(XY) \neq D(X)D(Y)$。因此，选项B是不正确的。
步骤 4：分析选项C
如果 $E(XY) = E(X)E(Y)$，则协方差 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。协方差为零意味着 $X$ 和 $Y$ 不相关。因此，选项C是不正确的。
步骤 5：分析选项D
如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$。然而，逆命题不一定为真。协方差为零（即 $E(XY) = E(X)E(Y)$）只意味着 $X$ 和 $Y$ 不相关，这比独立性要弱。因此，选项D是不正确的。
方差 $D(X)$ 表示随机变量 $X$ 的离散程度，定义为 $D(X) = E[(X - E(X))^2]$。协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 表示两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的线性相关程度，定义为 $\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$。
步骤 2：分析选项A
两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的和的方差由下式给出：\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y),\] 其中 $\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。协方差定义为：\[\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y).\] 给定 $E(XY) = E(X)E(Y)$，我们有：\[\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0.\] 因此，\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \cdot 0 = D(X) + D(Y).\] 所以，选项A是正确的。
步骤 3：分析选项B
两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的乘积的方差没有像和的方差那样简单的公式。一般而言，$D(XY) \neq D(X)D(Y)$。因此，选项B是不正确的。
步骤 4：分析选项C
如果 $E(XY) = E(X)E(Y)$，则协方差 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。协方差为零意味着 $X$ 和 $Y$ 不相关。因此，选项C是不正确的。
步骤 5：分析选项D
如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$。然而，逆命题不一定为真。协方差为零（即 $E(XY) = E(X)E(Y)$）只意味着 $X$ 和 $Y$ 不相关，这比独立性要弱。因此，选项D是不正确的。