题目
设 (x)=|x-dfrac (1)(2)| _(n)=2(int )_(0)^1f(x)sin npi xdx(n=1,2,... ), 令 S(x)=-|||-sum _(n=1)^infty (b)_(n)sin npi x, 则 (-dfrac (9)(4))= () .-|||-A. dfrac (3)(4) B. dfrac (1)(4) C. -dfrac (1)(4) D. -dfrac (3)(4)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数 $f(x)$ 的形式
$f(x)=|x-\dfrac {1}{2}|$ 是一个分段函数，当 $x<\dfrac {1}{2}$ 时，$f(x)=\dfrac {1}{2}-x$；当 $x\geqslant \dfrac {1}{2}$ 时，$f(x)=x-\dfrac {1}{2}$。
步骤 2：计算 ${b}_{n}$
${b}_{n}=2{\int }_{0}^{1}f(x)\sin n\pi xdx$，根据 $f(x)$ 的分段形式，可以将积分分为两部分：
${b}_{n}=2\left({\int }_{0}^{\frac {1}{2}}(\dfrac {1}{2}-x)\sin n\pi xdx+{\int }_{\frac {1}{2}}^{1}(x-\dfrac {1}{2})\sin n\pi xdx\right)$
通过分部积分法，可以计算出 ${b}_{n}$ 的值。
步骤 3：确定 $S(x)$ 的形式
$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}\sin n\pi x$，这是一个傅里叶正弦级数，表示 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的傅里叶展开。
步骤 4：计算 $S(-\dfrac {9}{4})$
由于 $S(x)$ 是一个周期为2的函数，因此 $S(-\dfrac {9}{4})=S(-\dfrac {1}{4})$。同时，由于 $S(x)$ 是 $f(x)$ 的傅里叶展开，因此在 $f(x)$ 的连续点上，$S(x)=f(x)$。因此，$S(-\dfrac {1}{4})=-f(\dfrac {1}{4})$。
步骤 5：计算 $f(\dfrac {1}{4})$
$f(\dfrac {1}{4})=\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{4}=\dfrac {1}{4}$，因此 $S(-\dfrac {1}{4})=-\dfrac {1}{4}$。
$f(x)=|x-\dfrac {1}{2}|$ 是一个分段函数，当 $x<\dfrac {1}{2}$ 时，$f(x)=\dfrac {1}{2}-x$；当 $x\geqslant \dfrac {1}{2}$ 时，$f(x)=x-\dfrac {1}{2}$。
步骤 2：计算 ${b}_{n}$
${b}_{n}=2{\int }_{0}^{1}f(x)\sin n\pi xdx$，根据 $f(x)$ 的分段形式，可以将积分分为两部分：
${b}_{n}=2\left({\int }_{0}^{\frac {1}{2}}(\dfrac {1}{2}-x)\sin n\pi xdx+{\int }_{\frac {1}{2}}^{1}(x-\dfrac {1}{2})\sin n\pi xdx\right)$
通过分部积分法，可以计算出 ${b}_{n}$ 的值。
步骤 3：确定 $S(x)$ 的形式
$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}\sin n\pi x$，这是一个傅里叶正弦级数，表示 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的傅里叶展开。
步骤 4：计算 $S(-\dfrac {9}{4})$
由于 $S(x)$ 是一个周期为2的函数，因此 $S(-\dfrac {9}{4})=S(-\dfrac {1}{4})$。同时，由于 $S(x)$ 是 $f(x)$ 的傅里叶展开，因此在 $f(x)$ 的连续点上，$S(x)=f(x)$。因此，$S(-\dfrac {1}{4})=-f(\dfrac {1}{4})$。
步骤 5：计算 $f(\dfrac {1}{4})$
$f(\dfrac {1}{4})=\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{4}=\dfrac {1}{4}$，因此 $S(-\dfrac {1}{4})=-\dfrac {1}{4}$。