某地区的统计年鉴公布了各个行业从业人员的平均年收入。其中服务业的从业人员平均年收人为50000元。假定该 结果是建立在一个由250名服务业从业人 员组成的样本基础上,且样本标准差为400元。计算服务业从业人员总 体平均年收入置信度为95%的区间估计。⏺

考查要点：本题主要考查大样本条件下总体均值的置信区间估计，涉及中心极限定理的应用及z分布的使用条件。

解题核心思路：

1. 判断使用z分布：当样本容量足够大（通常n≥30），即使总体方差未知，也可用样本方差代替总体方差，采用z分布进行区间估计。
2. 计算标准误：标准误为样本标准差除以样本容量的平方根。
3. 确定临界值：根据置信度95%，查标准正态分布表得临界值z₁.₉₆=1.96。
4. 构建置信区间：以样本均值为中心，以临界值与标准误的乘积为半宽，形成区间。

破题关键点：

• 明确统计量选择：大样本时用z分布，而非t分布。
• 正确计算标准误：注意分母为√n。
• 精确计算临界值对应的区间半宽。

步骤1：确定适用的统计量

样本容量n=250，属于大样本，且总体方差未知，因此采用z分布进行区间估计。

步骤2：计算标准误

标准误公式为：
$\text{标准误} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{400}{\sqrt{250}} \approx \frac{400}{15.81} \approx 25.30$

步骤3：确定临界值与区间半宽

置信度95%对应双侧临界值z₁.₉₆=1.96，区间半宽为：
$\text{半宽} = z_{\alpha/2} \times \text{标准误} = 1.96 \times 25.30 \approx 49.59$

步骤4：构建置信区间

置信区间为：
$\bar{X} \pm \text{半宽} = 50000 \pm 49.59 = (49950.41, 50049.59)$