题目
3.某车间生产一种电子器件，月平均产量为9500个，标准差为100个，试估计车间月产量为9000~10000个的概率.
3.某车间生产一种电子器件，月平均产量为9500个，标准差为100个，试估计车间月产量为9000~10000个的概率.
题目解答
答案
为了估计车间月产量为9000到10000个的概率，我们可以使用正态分布的性质。已知月平均产量为9500个，标准差为100个，我们可以将产量表示为一个正态随机变量 $ X $ ，其均值 $ \mu = 9500 $ ，标准差 $ \sigma = 100 $ 。我们需要找到概率 $ P(9000 < X < 10000) $ 。
首先，我们将产量值转换为z分数。z分数是正态分布中一个值到均值的距离，以标准差为单位。z分数的公式为：
\[ z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
对于 $ X = 9000 $ ：
\[ z_1 = \frac{9000 - 9500}{100} = \frac{-500}{100} = -5 \]
对于 $ X = 10000 $ ：
\[ z_2 = \frac{10000 - 9500}{100} = \frac{500}{100} = 5 \]
现在，我们需要找到概率 $ P(-5 < Z < 5) $ ，其中 $ Z $ 是一个标准正态随机变量。这可以表示为：
\[ P(-5 < Z < 5) = P(Z < 5) - P(Z < -5) \]
使用标准正态分布表或计算器，我们找到：
\[ P(Z < 5) \approx 0.999999713348 \]
\[ P(Z < -5) \approx 0.0000002867 \]
因此：
\[ P(-5 < Z < 5) \approx 0.999999713348 - 0.0000002867 = 0.999999426697 \]
将这个值四舍五入到更实际的精度，我们得到：
\[ P(-5 < Z < 5) \approx 0.999999 \]
所以，车间月产量为9000到10000个的概率大约为：
\[ \boxed{0.999999} \]
或者，以百分比表示，大约为 $ 99.9999\% $。
解析
本题考查正态分布的性质及及概率计算。解题思路是先明确月产量服从正态分布，已知均值和标准差，，将给定的产量范围转化为标准正态正态分布的z分数范围，再利用标准正态分布的性质计算该范围内的概率。
- 设车间月产量$X$服从正态分布，已知均值$\mu = 9500$，标准差$\sigma = 100$，要求$P(9000 < X < 10000)$。
- 计算$z$分数的计算公式为$z=\frac{X - \mu}{\sigma}$。
- 当$X = 9000$时，$z_1=\frac{9000 - 9500}{100}=\frac{-500}{100}=-5$。
- 当$X = 10000$时，$z_2=\frac{10000 - 9500}{100}=\frac{500}{100}=5$。
- 此时$P(9000 < X < 10000)$ = P(-5 < Z < 5))，根据标准正态分布的性质$P(-5 < Z < 5)=P(Z < 5)-P(Z < -5)$。
- 通过标准正态分布表或计算器可得$P(Z < 5)\approx0.999999713348$，$P(Z < -5)\approx0.0000002867$。
- 则$P(-5 < Z < 5)=0.999999713348 - 0.0000002867 = 0.999999426697\approx0.999999$。