[题目]X服从正态分布, EX=-1 , (X)^2=5 ,-|||-(X1,···,Xn)是来自总体X的一个样本,则 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i) 服-|||-从的分布为-|||-()-|||-A. (-1,dfrac (5)(n))-|||-B. (-1,dfrac (4)(n))-|||-C. (-dfrac (1)(n),dfrac (5)(n))-|||-D. (-dfrac (1)(n),dfrac (4)(n))

考查要点：本题主要考查正态分布样本均值的分布特性，涉及期望与方差的计算。

解题核心思路：

1. 确定总体参数：根据已知条件求出总体均值$\mu$和方差$\sigma^2$。
2. 应用正态分布性质：样本均值$\overline{X}$的分布仍为正态分布，其均值为$\mu$，方差为$\frac{\sigma^2}{n}$。

破题关键点：

• 总体均值：直接由$E(X) = -1$得出$\mu = -1$。
• 总体方差：通过公式$\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$计算，代入已知条件$E(X^2) = 5$即可求得。
• 样本均值的方差：总体方差除以样本量$n$，即$\frac{\sigma^2}{n}$。

步骤1：计算总体方差

已知：
$E(X) = -1, \quad E(X^2) = 5$
总体方差为：
$\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 5 - (-1)^2 = 5 - 1 = 4$

步骤2：确定样本均值的分布

样本均值$\overline{X}$的分布特性：

• 均值：与总体均值相同，即$E(\overline{X}) = \mu = -1$。
• 方差：总体方差除以样本量，即$\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{4}{n}$。

因此，$\overline{X}$服从正态分布：
$\overline{X} \sim N\left(-1, \frac{4}{n}\right)$

选项分析

• 选项B正确，符合计算结果。
• 其他选项错误原因：
  • A：方差错误（应为$\frac{4}{n}$而非$\frac{5}{n}$）。
  • C、D：均值错误（应为$-1$而非$-\frac{1}{n}$）。