题目
关于总体均值的检验 H_0: mu = mu_0, H_1: mu A. t geq t_alpha(n-1)B. t leq -t_alpha(n-1)C. |t| geq t_alpha(n-1)D. |t| leq t_alpha(n-1)
关于总体均值的检验 $H_0: \mu = \mu_0$, $H_1: \mu < \mu_0$, 如果总体方差 $\sigma^2$ 未知, $t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$, $\overline{x}, s, n$ 分别为样本均值、样本方差和样本容量. 则 $H_0$ 的拒绝域为().
A. $t \geq t_\alpha(n-1)$
B. $t \leq -t_\alpha(n-1)$
C. $|t| \geq t_\alpha(n-1)$
D. $|t| \leq t_\alpha(n-1)$
题目解答
答案
当总体方差未知时，检验统计量 $ t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $ 服从自由度为 $ n-1 $ 的 t 分布。对于单侧备择假设 $ H_1: \mu < \mu_0 $，拒绝域应位于 t 分布的左尾。即当 $ t \le -t_{\alpha}(n-1) $ 时拒绝 $ H_0 $。
对应选项为：
\[
\boxed{B}
\]
解析
本题考查在总体方差未知的情况下，对总体均值进行单侧假设检验时拒绝域的确定。解题的关键在于明确检验统计量的分布以及根据备择假设的方向来确定拒绝域的位置。
- 确定检验统计量及其分布：
- 已知总体方差$\sigma^2$未知，此时使用$t$检验，检验统计量为$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$，其中$\overline{x}$为样本均值，$s$为样本标准差，$n$为样本容量。
- 根据统计学知识，该检验统计量$t$服从自由度为$n - 1$的$t$分布，即$t\simim t(n - 1)$。
- 根据备择假设确定拒绝域位置：
- 原假设$H_0: \mu = \mu_0$，备择假设$H_1: \mu < \mu_0$，这是一个单侧（左侧）检验。
- 对于左侧检验，拒绝域位于$t$分布的左尾。
- 确定拒绝域的具体形式：
- 给定显著性水平$\alpha$，在自由度为$n - 1$的$t$分布中，$t_{\alpha}(n - 1)$表示上$\alpha$分位数，即$P(t\geq t_{\alpha}(n - 1))=\alpha$。
- 由于拒绝域在左尾，所以当$t\leq -t_{\alpha}(n - 1)$时，我们拒绝原假设$H_0$。