题目
设按某种工艺生产的金属纤维的长度X~N(L,^2)，现抽取了16根纤维测得平均长度为L,^2=5.4，样本方差为L,^2=0.16，分别求L,^2的90%和95%置信区间。
设按某种工艺生产的金属纤维的长度X~N(
)，现抽取了16根纤维测得平均长度为
=5.4，样本方差为
=0.16，分别求
的90%和95%置信区间。
题目解答
答案
（1）求的90%的置信区间。
已知平均长度为=5.4，样本方差为=0.16，n=16，则s=0.4。又对1-
=0.9，=0.1，查t分布表得
。于是
故的90%置信区间为（5.2247，5.5753）。
（2）求的95%的置信区间。
已知平均长度为=5.4，样本方差为=0.16，n=16，则s=0.4。又对1-=0.95，=0.05，查t分布表得
。于是
故的90%置信区间为（5.1868，5.6132）。
解析
步骤 1：确定样本均值和样本方差
已知样本均值 $\bar{x} = 5.4$，样本方差 $s^2 = 0.16$，样本量 $n = 16$，因此样本标准差 $s = \sqrt{0.16} = 0.4$。
步骤 2：计算90%置信区间
对于90%置信区间，$\alpha = 0.1$，自由度 $df = n - 1 = 15$，查t分布表得 $t_{\alpha/2}(15) = t_{0.05}(15) = 1.753$。于是，90%置信区间为：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(15) \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 5.4 \pm 1.753 \times \frac{0.4}{\sqrt{16}} = 5.4 \pm 0.1753
$$
因此，90%置信区间为 $(5.2247, 5.5753)$。
步骤 3：计算95%置信区间
对于95%置信区间，$\alpha = 0.05$，自由度 $df = n - 1 = 15$，查t分布表得 $t_{\alpha/2}(15) = t_{0.025}(15) = 2.132$。于是，95%置信区间为：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(15) \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 5.4 \pm 2.132 \times \frac{0.4}{\sqrt{16}} = 5.4 \pm 0.2132
$$
因此，95%置信区间为 $(5.1868, 5.6132)$。
已知样本均值 $\bar{x} = 5.4$，样本方差 $s^2 = 0.16$，样本量 $n = 16$，因此样本标准差 $s = \sqrt{0.16} = 0.4$。
步骤 2：计算90%置信区间
对于90%置信区间，$\alpha = 0.1$，自由度 $df = n - 1 = 15$，查t分布表得 $t_{\alpha/2}(15) = t_{0.05}(15) = 1.753$。于是，90%置信区间为：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(15) \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 5.4 \pm 1.753 \times \frac{0.4}{\sqrt{16}} = 5.4 \pm 0.1753
$$
因此，90%置信区间为 $(5.2247, 5.5753)$。
步骤 3：计算95%置信区间
对于95%置信区间，$\alpha = 0.05$，自由度 $df = n - 1 = 15$，查t分布表得 $t_{\alpha/2}(15) = t_{0.025}(15) = 2.132$。于是，95%置信区间为：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(15) \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 5.4 \pm 2.132 \times \frac{0.4}{\sqrt{16}} = 5.4 \pm 0.2132
$$
因此，95%置信区间为 $(5.1868, 5.6132)$。