极限 lim _(x arrow infty)(2x sin (1)/(x)+(sin 3x)/(x))= （ ）A. 0B. 2C. 3D. 5

本题考查极限的计算，主要运用了重要极限公式$\lim\limits_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=1$以及极限的四则运算法则。解题思路是将原式拆分成两个极限的和，分别计算这两个极限的值，最后将它们相加得到原式的极限。

1. 拆分极限：
   根据极限的四则运算法则，若$\lim\limits_{x \to a}f(x)$和$\lim\limits_{x \to a}g(x)$都存在，则$\lim\limits_{x \to a}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to a}f(x)+\lim\limits_{x \to a}g(x)$。
   对于$\lim\limits_{x \to \infty}(2x \sin \frac{1}{x}+\frac{\sin 3x}{x})$，可将其拆分为$\lim\limits_{x \to \infty}2x \sin \frac{1}{x}+\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\sin 3x}{x}$。
2. 计算$\lim\limits_{x \to \infty}2x \sin \frac{1}{x}$：
   令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$。
   则$\lim\limits_{x \to \infty}2x \sin \frac{1}{x}=\lim\limits_{t \to 0}\frac{2\sin t}{t}$。
   根据重要极限公式$\lim\limits_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=1$，可得$\lim\limits_{t \to 0}\frac{2\sin t}{t}=2\lim\limits_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=2\times1 = 2$。
3. 计算$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\sin 3x}{x}$：
   因为$\vert\sin 3x\vert\leqslant1$，即$\sin 3x$是有界函数，而当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$。
   根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\sin 3x}{x}=\lim\limits_{x \to \infty}\sin 3x\cdot\frac{1}{x}=0$。
4. 计算原式极限：
   将上述两个极限的结果相加，可得$\lim\limits_{x \to \infty}(2x \sin \frac{1}{x}+\frac{\sin 3x}{x})=\lim\limits_{x \to \infty}2x \sin \frac{1}{x}+\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\sin 3x}{x}=2 + 0 = 2$。