8. (2.0分) 设随机变量X，Y相互独立，且都服从正态分布N(μ，σ²)，则P(|X-Y|A. 与μ无关，与σ²有关B. 与μ有关，与σ²无关C. 与μ、σ²都有关D. 与μ、σ²都无关

本题考查正态分布的性质以及随机变量相互独立的性质，解题思路是先求出$X - Y$的的分布，再计算$P\{|X - Y| \lt 1\}$。

1. 因为$X$，\\(2.0分)\)，$Y$相互独立，且都服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$ )，根据正态分布的性质：若$X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，且$X$与$Y$相互独立，则$3.0分$，则$X - Y\sim N(\mu_{1}-\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$。
   本题中$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$Y$，$Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$，所以$X - Y\sim N(\mu - \mu,\sigma^{2}+\sigma^{2})=N(\mu,2\sigma^{2})$。
2. 设$Z = X - 1$，$Z = X - Y$，则$Z\sim N(\mu,2\sigma^{2})$ )，对$Z$进行标准化：令$T=\frac{Z - \mu}{\sqrt{2\sigma^{2}}}$，则$T\sim N(0,1)$。
   那么$P\{|X - Y| \lt 1\}=P\{|Z|lt 1\}=P\left\{-\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}lt\frac{}\frac{Z - \mu}{\sqrt{2\sigma^{}}}lt\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}\right\}$。
   根据正态分布的性质，$P\left\{-\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}lt{}\frac{Z - \mu}{\sqrt{2\sigma^{}}}lt\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}\right\}=\varPhi\left(\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}\right)-\varPhi\left(-\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}\right)$，其中$\varPhi(x)$是标准正态分布的分布函数。
   又因为$\varPhi(-x)=1)=1 - \varPhi(x)$，所以$\varPhi\left(\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}\right)-$-\varPhi\left(-\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}\right)=\varPhi\left(\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}\right)-\left(1 - \varPhi\left(\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}\right)\right)=2\varPhi\left(\frac{1}{\sqrt{2\sigma^{}}}\right)-1)。
   由此可见，$P\{|X - Y| \lt 1\}$与$\mu$无关，与$\sigma^{2}$有关)。