题目
求总体N(20,3)的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大-|||-于0.3的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义样本均值
将总体N(20,3)的容量分别为10和15的两独立样本的均值分别记作 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$。根据中心极限定理，样本均值的分布近似于正态分布，因此 $\overline{X} \sim N(20, 3/10)$ 和 $\overline{Y} \sim N(20, 3/15)$。
步骤 2：计算样本均值差的分布
样本均值差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 的分布为正态分布，其均值为 $\mu_{\overline{X} - \overline{Y}} = \mu_{\overline{X}} - \mu_{\overline{Y}} = 20 - 20 = 0$，方差为 $D(\overline{X} - \overline{Y}) = D(\overline{X}) + D(\overline{Y}) = 3/10 + 3/15 = 1/2$。因此，$\overline{X} - \overline{Y} \sim N(0, 1/2)$。
步骤 3：计算概率
所求概率为 $P(|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.3)$。根据正态分布的性质，可以将该概率转化为标准正态分布的概率。即 $P(|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.3) = 1 - P(|\overline{X} - \overline{Y}| \leq 0.3)$。进一步转化为 $1 - P(-0.3 \leq \overline{X} - \overline{Y} \leq 0.3)$。由于 $\overline{X} - \overline{Y} \sim N(0, 1/2)$，可以将不等式两边除以标准差 $\sqrt{1/2}$，得到 $1 - P(-0.3/\sqrt{1/2} \leq \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{1/2}} \leq 0.3/\sqrt{1/2})$。即 $1 - P(-0.42 \leq Z \leq 0.42)$，其中 $Z$ 为标准正态分布。根据标准正态分布表，$P(-0.42 \leq Z \leq 0.42) = 2 \times 0.1628 = 0.3256$。因此，所求概率为 $1 - 0.3256 = 0.6744$。
将总体N(20,3)的容量分别为10和15的两独立样本的均值分别记作 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$。根据中心极限定理，样本均值的分布近似于正态分布，因此 $\overline{X} \sim N(20, 3/10)$ 和 $\overline{Y} \sim N(20, 3/15)$。
步骤 2：计算样本均值差的分布
样本均值差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 的分布为正态分布，其均值为 $\mu_{\overline{X} - \overline{Y}} = \mu_{\overline{X}} - \mu_{\overline{Y}} = 20 - 20 = 0$，方差为 $D(\overline{X} - \overline{Y}) = D(\overline{X}) + D(\overline{Y}) = 3/10 + 3/15 = 1/2$。因此，$\overline{X} - \overline{Y} \sim N(0, 1/2)$。
步骤 3：计算概率
所求概率为 $P(|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.3)$。根据正态分布的性质，可以将该概率转化为标准正态分布的概率。即 $P(|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.3) = 1 - P(|\overline{X} - \overline{Y}| \leq 0.3)$。进一步转化为 $1 - P(-0.3 \leq \overline{X} - \overline{Y} \leq 0.3)$。由于 $\overline{X} - \overline{Y} \sim N(0, 1/2)$，可以将不等式两边除以标准差 $\sqrt{1/2}$，得到 $1 - P(-0.3/\sqrt{1/2} \leq \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{1/2}} \leq 0.3/\sqrt{1/2})$。即 $1 - P(-0.42 \leq Z \leq 0.42)$，其中 $Z$ 为标准正态分布。根据标准正态分布表，$P(-0.42 \leq Z \leq 0.42) = 2 \times 0.1628 = 0.3256$。因此，所求概率为 $1 - 0.3256 = 0.6744$。