题目
设X1,···,Xn是来自X1,···,Xn的样本,考虑如下假设检验问题X1,···,Xn若拒绝域为X1,···,Xn,样本容量X1,···,Xn时,求该检验犯两类错误的概率.
设
是来自
的样本,考虑如下假设检验问题
若拒绝域为
,样本容量
时,求该检验犯两类错误的概率.
题目解答
答案
解:
;
解析
步骤 1：确定检验统计量
由于样本来自正态分布N(μ,4)，且样本容量n=16，因此样本均值$\overline{X}$服从正态分布N(μ,4/16)。检验统计量为$\overline{X}$。
步骤 2：计算第一类错误的概率
第一类错误的概率α是当原假设H0为真时，拒绝H0的概率。即当μ=2时，$\overline{X}$大于等于3的概率。
$$
\alpha = P(\overline{X} \geq 3 | \mu = 2) = 1 - \Phi\left(\frac{3 - 2}{\sqrt{4/16}}\right) = 1 - \Phi(2)
$$
其中，Φ是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：计算第二类错误的概率
第二类错误的概率β是当备择假设H1为真时，接受H0的概率。即当μ=5时，$\overline{X}$小于3的概率。
$$
\beta = P(\overline{X} < 3 | \mu = 5) = \Phi\left(\frac{3 - 5}{\sqrt{4/16}}\right) = \Phi(-4)
$$
由于样本来自正态分布N(μ,4)，且样本容量n=16，因此样本均值$\overline{X}$服从正态分布N(μ,4/16)。检验统计量为$\overline{X}$。
步骤 2：计算第一类错误的概率
第一类错误的概率α是当原假设H0为真时，拒绝H0的概率。即当μ=2时，$\overline{X}$大于等于3的概率。
$$
\alpha = P(\overline{X} \geq 3 | \mu = 2) = 1 - \Phi\left(\frac{3 - 2}{\sqrt{4/16}}\right) = 1 - \Phi(2)
$$
其中，Φ是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：计算第二类错误的概率
第二类错误的概率β是当备择假设H1为真时，接受H0的概率。即当μ=5时，$\overline{X}$小于3的概率。
$$
\beta = P(\overline{X} < 3 | \mu = 5) = \Phi\left(\frac{3 - 5}{\sqrt{4/16}}\right) = \Phi(-4)
$$