4.18 已知随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,9)和N(0,16),且X与Y的相关系-|||-数为 rho xy=-0.5, 而设 =X|3+Y/2.-|||-(2)求X与Z的相关系数ρxz;

步骤 1：计算Z的期望值
根据题目，$Z = \frac{X}{3} + \frac{Y}{2}$，其中$X$和$Y$分别服从正态分布$N(1,9)$和$N(0,16)$。因此，$E(Z) = E(\frac{X}{3} + \frac{Y}{2}) = \frac{1}{3}E(X) + \frac{1}{2}E(Y) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{2} \times 0 = \frac{1}{3}$。

步骤 2：计算Z的方差
$D(Z) = D(\frac{X}{3} + \frac{Y}{2}) = D(\frac{X}{3}) + D(\frac{Y}{2}) + 2Cov(\frac{X}{3}, \frac{Y}{2})$。
$D(\frac{X}{3}) = \frac{1}{9}D(X) = \frac{1}{9} \times 9 = 1$。
$D(\frac{Y}{2}) = \frac{1}{4}D(Y) = \frac{1}{4} \times 16 = 4$。
$Cov(\frac{X}{3}, \frac{Y}{2}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}Cov(X,Y) = \frac{1}{6} \times (-0.5) \times \sqrt{9} \times \sqrt{16} = -1$。
因此，$D(Z) = 1 + 4 - 2 = 3$。

步骤 3：计算X与Z的相关系数
$Cov(X,Z) = Cov(X, \frac{X}{3} + \frac{Y}{2}) = \frac{1}{3}Cov(X,X) + \frac{1}{2}Cov(X,Y) = \frac{1}{3}D(X) + \frac{1}{2} \times (-0.5) \times \sqrt{9} \times \sqrt{16} = 3 - 3 = 0$。
因此，$ρ_{xz} = \frac{Cov(X,Z)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Z)}} = \frac{0}{\sqrt{9}\sqrt{3}} = 0$。