例10 已知100件产品中有10件正品，每次使用这些 正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时均有 0.1的可能性发生故障.现从这100件产品中随机抽取一件， 若使用了n次均未发生故障，问n为多大时，才能有70% 的把握认为所得的产品为正品.

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理的应用，以及如何通过概率不等式求解参数。关键在于理解如何根据观测结果（多次使用未故障）反推产品为正品的后验概率，并确定满足条件的最小试验次数。

解题核心思路：

1. 定义事件：明确正品（$A_1$）和非正品（$A_2$）的先验概率，以及使用$n$次未故障的条件概率$P(B|A_1)$和$P(B|A_2)$。
2. 应用贝叶斯定理：计算后验概率$P(A_1|B)$，建立不等式$P(A_1|B) \geq 0.7$。
3. 解指数不等式：通过取对数将指数不等式转化为线性不等式，求出最小整数解。

破题关键点：

• 正确应用全概率公式计算分母$P(B)$。
• 处理指数不等式时注意对数运算的方向，尤其是负数对不等式方向的影响。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设$A_1$为“抽到正品”，$A_2$为“抽到非正品”，$B$为“使用$n$次均未故障”。
• 先验概率：$P(A_1) = 0.1$，$P(A_2) = 0.9$。
• 条件概率：$P(B|A_1) = 1$（正品永不故障），$P(B|A_2) = 0.9^n$（非正品每次故障概率为$0.1$，故不故障概率为$0.9$）。

步骤2：应用贝叶斯定理
后验概率公式为：
$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0.1 \times 1}{0.1 + 0.9 \times 0.9^n} = \frac{0.1}{0.1 + 0.9^{n+1}}$

步骤3：建立不等式并求解
要求$P(A_1|B) \geq 0.7$，即：
$\frac{0.1}{0.1 + 0.9^{n+1}} \geq 0.7$
整理得：
$0.9^{n+1} \leq \frac{3}{70}$
取自然对数：
$(n+1)\ln(0.9) \leq \ln\left(\frac{3}{70}\right)$
因$\ln(0.9) < 0$，不等式方向反转：
$n+1 \geq \frac{\ln\left(\frac{3}{70}\right)}{\ln(0.9)} \approx 29.90$
故$n \geq 28.90$，最小整数解为$n = 29$。