下列积分不能应用柯西积分定理判定积分值为零的是()A、(int )_(|-|)^2|-dfrac (3{e)^2z}({z)^2+5z+6}dzB (int )_(|-|)^2|-dfrac (3{e)^2z}({z)^2+5z+6}dzC (int )_(|-|)^2|-dfrac (3{e)^2z}({z)^2+5z+6}dzD (int )_(|-|)^2|-dfrac (3{e)^2z}({z)^2+5z+6}dz
下列积分不能应用柯西积分定理判定积分值为零的是()
A、
B 
C 
D 
题目解答
答案
首先，我们需要明确柯西积分定理的内容：如果函数f(z)在单连通区域D内解析，
且在D的边界
上连续，则对于D内的任意闭合曲线
,有
接下来，我们逐一分析每个选项：
对于选项A：
分母
可以分解为
,在
,即
的圆内，这两个点都不在圆内，所以函数在圆内解析，可以应用柯西积分定理，积分为0。
对于选项B：
在
,即
的圆内，
的零点(即
) 中，只有
和
(考虑到圆的半径 为 2) 在 圆 内 或 圆 上 。但 由 于 是的一阶零点，而分子
在处不为0，所
处不解析。因此，不能应用柯西积分定理。
对于选项C：
在
,即
的圆内，分母
没有零点，所以函数在圆内解析，可以应用柯西积分定理，积分为0。
对于选项D：
在
,即
的圆内，函数
是解析的(因为是整函数，与z相乘后仍然是解析的),可以应用柯西积分定理，积分为0。
综上所述，本题故选B。
解析
柯西积分定理的应用条件是：函数在积分路径所围区域内解析（即无奇点）。本题需逐一分析各选项中被积函数在积分路径内的奇点情况：
- 选项A：分母分解为$(z+2)(z+3)$，奇点$z=-2$和$z=-3$均在路径$|z|=1$外，函数在圆内解析。
- 选项B：分母$\sin z$在$z=k\pi$处为零，其中$z=0$在路径$|z-1|=2$内，且分子在$z=0$处不为零，导致函数在圆内存在奇点。
- 选项C：分母$z^2+1$的零点$z=\pm i$在路径$|z-3|=1$外，函数在圆内解析。
- 选项D：$\sin z$是整函数，与$z$相乘后仍解析，路径内无奇点。
关键点：判断被积函数在积分路径内是否存在奇点。
选项A
路径：$|z|=1$
分母分解：$z^2+5z+6=(z+2)(z+3)$
奇点位置：$z=-2$和$z=-3$均在圆外（距离原点分别为2和3，半径1）。
结论：函数在圆内解析，积分值为0。
选项B
路径：$|z-1|=2$
分母零点：$\sin z=0$的解为$z=k\pi$，其中$k=0$时$z=0$在圆内（$|0-1|=1<2$）。
分子在$z=0$处：$3(0)-1=-1 \neq 0$，故$z=0$为被积函数的一阶极点。
结论：函数在圆内不解析，积分值不为0。
选项C
路径：$|z-3|=1$
分母零点：$z^2+1=0$的解为$z=\pm i$，距离$z=3$为$\sqrt{10} \approx 3.16 >1$，在圆外。
结论：函数在圆内解析，积分值为0。
选项D
路径：$|z-1|=1$
被积函数：$z \sin z$为整函数与$z$的乘积，处处解析。
结论：函数在圆内解析，积分值为0。