设 f(x)= } a + 2xsin(1)/(x), & x 0 x = 0 为其可去间断点，则 a = ( )A. 0B. -1C. 1D. 2

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的极限计算，以及可去间断点的定义与判定条件。

解题核心思路：

1. 可去间断点的条件：函数在该点的左右极限存在且相等，但函数值不等于该极限值（或未定义）。此时可通过重新定义函数值使函数连续。
2. 关键步骤：
   • 分别计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$时的左右极限；
   • 令左右极限相等，解出参数$a$的值。

破题关键点：

• 右极限：利用等价无穷小$\tan x \sim x$（当$x \to 0$时），简化计算；
• 左极限：分析$2x \sin \frac{1}{x}$的极限，利用夹逼定理判断其趋于$0$。

计算右极限（$x \to 0^+$）

当$x > 0$时，$f(x) = \frac{\tan x}{x}$。
利用等价无穷小$\tan x \sim x$（当$x \to 0$时），得：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1.$

计算左极限（$x \to 0^-$）

当$x < 0$时，$f(x) = a + 2x \sin \frac{1}{x}$。
注意到$\sin \frac{1}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，因此：
$|2x \sin \frac{1}{x}| \leq 2|x|.$
当$x \to 0$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理：
$\lim_{x \to 0^-} 2x \sin \frac{1}{x} = 0.$
因此，左极限为：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = a + 0 = a.$

确定$a$的值

为使$x = 0$为可去间断点，需满足左右极限相等，即：
$a = 1.$