题目
5.对某事件进行n次观测,如果在第 (k=1,2,... ,n) 次观测时该事件出现,则记-|||-_(k)=1, 否则记 _(k)=0.. 试根据样本X1,X 2,···,Xn的观测值求事件概率p的矩估计量和最大似-|||-然估计量,讨论估计量的无偏性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩估计量的推导
矩估计量是通过将样本矩与总体矩相等来估计参数的方法。对于二项分布，总体均值为 $p$，样本均值为 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k$。因此，矩估计量为 $\hat{p} = \bar{x}$。
步骤 2：最大似然估计量的推导
最大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于二项分布，似然函数为 $L(p) = p^{\sum_{k=1}^{n}x_k}(1-p)^{n-\sum_{k=1}^{n}x_k}$。对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(p) = \sum_{k=1}^{n}x_k \ln p + (n-\sum_{k=1}^{n}x_k) \ln (1-p)$。对 $\ln L(p)$ 关于 $p$ 求导，得到 $\frac{d}{dp} \ln L(p) = \frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{p} - \frac{n-\sum_{k=1}^{n}x_k}{1-p}$。令导数等于零，得到 $\hat{p} = \frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}$。
步骤 3：估计量的无偏性
矩估计量 $\hat{p} = \bar{x}$ 和最大似然估计量 $\hat{p} = \frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}$ 都是无偏估计量，因为 $E(\hat{p}) = E(\bar{x}) = p$ 和 $E(\hat{p}) = E(\frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}) = p$。
矩估计量是通过将样本矩与总体矩相等来估计参数的方法。对于二项分布，总体均值为 $p$，样本均值为 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k$。因此，矩估计量为 $\hat{p} = \bar{x}$。
步骤 2：最大似然估计量的推导
最大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于二项分布，似然函数为 $L(p) = p^{\sum_{k=1}^{n}x_k}(1-p)^{n-\sum_{k=1}^{n}x_k}$。对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(p) = \sum_{k=1}^{n}x_k \ln p + (n-\sum_{k=1}^{n}x_k) \ln (1-p)$。对 $\ln L(p)$ 关于 $p$ 求导，得到 $\frac{d}{dp} \ln L(p) = \frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{p} - \frac{n-\sum_{k=1}^{n}x_k}{1-p}$。令导数等于零，得到 $\hat{p} = \frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}$。
步骤 3：估计量的无偏性
矩估计量 $\hat{p} = \bar{x}$ 和最大似然估计量 $\hat{p} = \frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}$ 都是无偏估计量，因为 $E(\hat{p}) = E(\bar{x}) = p$ 和 $E(\hat{p}) = E(\frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}) = p$。