题目
某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5．设overline(p)为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果overline(p)＞p+1.65sqrt((p（1-p）)/(n))，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（sqrt(150)≈12.247）附：K2=(n（ad-bc）^2)/(（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）)， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1）填写如下列联表：
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5．设$\overline{p}$为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果$\overline{p}$＞p+1.65$\sqrt{\frac{p（1-p）}{n}}$，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（$\sqrt{150}$≈12.247）
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，
| 优级品 | 合格品 | 不合格品 | 总计 | |
| 甲车间 | 26 | 24 | 0 | 50 |
| 乙车间 | 70 | 28 | 2 | 100 |
| 总计 | 96 | 52 | 2 | 150 |
| 优级品 | 非优级品 | |
| 甲车间 | ||
| 乙车间 |
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5．设$\overline{p}$为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果$\overline{p}$＞p+1.65$\sqrt{\frac{p（1-p）}{n}}$，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（$\sqrt{150}$≈12.247）
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，
| P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
题目解答
答案
解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
零假设H0：根据α=0.05的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
X2=$\frac{150×（70×24-26×30）^{2}}{96×54×50×100}$=4.6875＞3.841，
有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
零假设H0：根据α=0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
4.6875＜6.635，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
（2）由题意得$\overline{p}$=$\frac{96}{150}$=0.64，p+1.65$\sqrt{\frac{p（1-p）}{n}}$=0.5+1.65×$\sqrt{\frac{0.5×0.5}{150}}$≈0.57，
所以$\overline{p}$＞p+1.65$\sqrt{\frac{p（1-p）}{n}}$，故有优化提升．
| 优级品 | 非优级品 | |
| 甲车间 | 26 | 24 |
| 乙车间 | 70 | 30 |
X2=$\frac{150×（70×24-26×30）^{2}}{96×54×50×100}$=4.6875＞3.841，
有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
零假设H0：根据α=0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
4.6875＜6.635，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
（2）由题意得$\overline{p}$=$\frac{96}{150}$=0.64，p+1.65$\sqrt{\frac{p（1-p）}{n}}$=0.5+1.65×$\sqrt{\frac{0.5×0.5}{150}}$≈0.57，
所以$\overline{p}$＞p+1.65$\sqrt{\frac{p（1-p）}{n}}$，故有优化提升．
解析
考查要点：本题主要考查独立性检验（卡方检验）和假设检验的应用，涉及统计推断的基本方法。
解题思路：
- 第（1）题：需要将原始数据整理为2×2列联表，计算卡方统计量，通过与临界值比较判断是否有显著差异。
- 第（2）题：根据给定的判断标准，计算升级改造后的优级品率是否超过阈值，从而判断是否提升。
关键点：
- 卡方检验的核心是通过观察频数与期望频数的差异判断变量是否独立。
- 假设检验中需明确判断标准（如临界值）和计算结果的比较。
第（1）题
填写列联表
根据原始数据，甲车间非优级品数为 $50 - 26 = 24$，乙车间非优级品数为 $100 - 70 = 30$，得到：
| 优级品 | 非优级品 | 总计 | |
|---|---|---|---|
| 甲车间 | 26 | 24 | 50 |
| 乙车间 | 70 | 30 | 100 |
| 总计 | 96 | 54 | 150 |
卡方检验计算
卡方公式为：
$K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
代入数据：
- $a=26$, $b=24$, $c=70$, $d=30$, $n=150$
- $ad - bc = 26 \times 30 - 24 \times 70 = 780 - 1680 = -900$
- 分子：$150 \times (-900)^2 = 150 \times 810000 = 121500000$
- 分母：$(26+24)(70+30)(26+70)(24+30) = 50 \times 100 \times 96 \times 54 = 25920000$
- $K^2 = \frac{121500000}{25920000} \approx 4.6875$
显著性判断
- 95%置信度：临界值 $k=3.841$，$4.6875 > 3.841$，拒绝原假设，存在显著差异。
- 99%置信度：临界值 $k=6.635$，$4.6875 < 6.635$，无法拒绝原假设，无足够证据支持差异。
第（2）题
计算优级品率
- 样本优级品率 $\overline{p} = \frac{96}{150} = 0.64$
- 阈值计算：
$p + 1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 0.5 + 1.65 \times \sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{150}} \approx 0.5 + 1.65 \times \frac{0.5}{12.247} \approx 0.5672$ - 比较：$0.64 > 0.5672$，满足提升条件。