题目

(4)lim_(ntoinfty)((2n-1)^10(3n+2)^20)/(5n^30);

(4)$\lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)^{10}(3n+2)^{20}}{5n^{30}};$

题目解答

答案

将分子和分母同时除以 $n^{30}$，得 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(2n-1)^{10}(3n+2)^{20}}{5n^{30}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(2 - \frac{1}{n}\right)^{10} \left(3 + \frac{2}{n}\right)^{20}}{5}. $$ 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，$\frac{2}{n} \to 0$，故 $$ \lim_{n\to\infty} \left(2 - \frac{1}{n}\right)^{10} \left(3 + \frac{2}{n}\right)^{20} = 2^{10} \cdot 3^{20}. $$ 因此，原极限为 $$ \boxed{\frac{2^{10} \cdot 3^{20}}{5}}. $$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是处理多项式分式极限的方法。关键在于识别分子和分母的最高次项，并通过变形简化表达式。

解题核心思路：
当$n \to \infty$时，多项式中的最高次项主导整个表达式。因此，将分子和分母中的多项式展开为最高次项的倍数，再约去相同次数的$n^{30}$，最终利用$\frac{1}{n} \to 0$的性质求极限。

破题关键点：

  1. 提取最高次项：将分子中的$(2n-1)^{10}$和$(3n+2)^{20}$分别表示为$n^{10}(2 - \frac{1}{n})^{10}$和$n^{20}(3 + \frac{2}{n})^{20}$。
  2. 约分简化：分子和分母均含$n^{30}$，约去后仅保留常数项和与$\frac{1}{n}$相关的部分。
  3. 极限代入：当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，剩余部分直接代入计算。

步骤1：分解分子中的多项式
将分子$(2n-1)^{10}(3n+2)^{20}$分解为最高次项的倍数：
$\begin{aligned}(2n-1)^{10} &= (2n)^{10} \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^{10} = n^{10} \cdot 2^{10} \left(2 - \frac{1}{n}\right)^{10}, \\(3n+2)^{20} &= (3n)^{20} \left(1 + \frac{2}{3n}\right)^{20} = n^{20} \cdot 3^{20} \left(3 + \frac{2}{n}\right)^{20}.\end{aligned}$

步骤2：合并分子并约分
分子整体为：
$n^{10} \cdot 2^{10} \left(2 - \frac{1}{n}\right)^{10} \cdot n^{20} \cdot 3^{20} \left(3 + \frac{2}{n}\right)^{20} = n^{30} \cdot 2^{10} \cdot 3^{20} \left(2 - \frac{1}{n}\right)^{10} \left(3 + \frac{2}{n}\right)^{20}.$
分母为$5n^{30}$，因此原式化简为：
$\frac{n^{30} \cdot 2^{10} \cdot 3^{20} \left(2 - \frac{1}{n}\right)^{10} \left(3 + \frac{2}{n}\right)^{20}}{5n^{30}} = \frac{2^{10} \cdot 3^{20} \left(2 - \frac{1}{n}\right)^{10} \left(3 + \frac{2}{n}\right)^{20}}{5}.$

步骤3：计算极限
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，$\frac{2}{n} \to 0$，因此：
$\lim_{n\to\infty} \left(2 - \frac{1}{n}\right)^{10} \left(3 + \frac{2}{n}\right)^{20} = 2^{10} \cdot 3^{20}.$
代入得最终结果：
$\frac{2^{10} \cdot 3^{20}}{5}.$