设 B subset A。则下列正确的是A. P(overline(A)B) = 1 - P(A)B. P(overline(B) - overline(A)) = P(overline(B)) - P(overline(A))C. P(B|A) = P(B)D. P(A|B) = P(A)
设 $B \subset A$。则下列正确的是 A. $P(\overline{A}B) = 1 - P(A)$ B. $P(\overline{B} - \overline{A}) = P(\overline{B}) - P(\overline{A})$ C. $P(B|A) = P(B)$ D. $P(A|B) = P(A)$
题目解答
答案
我们来逐项分析题目。
题目给出：设 $ B \subset A $，即集合 $ B $ 是集合 $ A $ 的子集。
我们要判断下列四个选项中哪一个一定正确。
选项 A： $ P(\overline{A}B) = 1 - P(A) $
我们先理解这个表达式。
- $ \overline{A} $ 表示 $ A $ 的补集（即不发生 $ A $）。
- $ \overline{A}B $ 表示事件 $ \overline{A} \cap B $，即 $ B $ 发生且 $ A $ 不发生。
但已知 $ B \subset A $，这意味着：如果 $ B $ 发生了，那么 $ A $ 一定发生。
所以 $ B \subset A \Rightarrow B \cap \overline{A} = \emptyset $
因此：
$P(\overline{A}B) = P(B \cap \overline{A}) = P(\emptyset) = 0$
而右边 $ 1 - P(A) = P(\overline{A}) $，一般不等于 0（除非 $ P(A) = 1 $）。
所以左边是 0，右边不一定为 0，不一定相等。
A 错误。
选项 B： $ P(\overline{B} - \overline{A}) = P(\overline{B}) - P(\overline{A}) $
先理解集合运算：
- $ \overline{B} - \overline{A} = \overline{B} \cap A $，因为 $ X - Y = X \cap \overline{Y} $，所以：
$\overline{B} - \overline{A} = \overline{B} \cap \overline{\overline{A}} = \overline{B} \cap A$
所以左边是：
$P(\overline{B} \cap A)$
右边是：
$P(\overline{B}) - P(\overline{A})$
我们来验证是否恒等。
我们知道：
- $ P(\overline{B}) = 1 - P(B) $
- $ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $
- 所以右边 = $ (1 - P(B)) - (1 - P(A)) = P(A) - P(B) $
而左边 $ P(\overline{B} \cap A) $ 是什么？
由于 $ B \subset A $，我们可以把 $ A $ 分成两个互不相交的部分：
$A = B \cup (A \setminus B)
\Rightarrow A \setminus B = A \cap \overline{B}$
所以：
$P(\overline{B} \cap A) = P(A \setminus B) = P(A) - P(B)$
因此左边 = $ P(A) - P(B) $，右边也是 $ P(A) - P(B) $
所以 选项 B 成立。
B 正确。
选项 C： $ P(B|A) = P(B) $
条件概率定义：
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
由于 $ B \subset A $，所以 $ A \cap B = B $，因此：
$P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)}$
这个值等于 $ P(B) $ 当且仅当 $ \frac{P(B)}{P(A)} = P(B) $，即 $ P(A) = 1 $，但这不一定成立。
例如：设样本空间为掷一个骰子，$ A = \{1,2,3,4\} $, $ B = \{1,2\} $，显然 $ B \subset A $。
则：
- $ P(B) = 2/6 = 1/3 $
- $ P(B|A) = P(B)/P(A) = (1/3)/(2/3) = 1/2 \ne P(B) $
所以 C 不一定成立，错误。
选项 D： $ P(A|B) = P(A) $
同样用条件概率公式：
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
由于 $ B \subset A $，有 $ A \cap B = B $，所以：
$P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$
而 $ P(A) $ 一般小于 1（除非 $ A $ 是必然事件），所以 $ P(A|B) = 1 \ne P(A) $，除非 $ P(A) = 1 $
所以 D 不成立。
结论：
四个选项中，只有 B 正确。
答案：
$\boxed{\text{B}}$
解析
考查要点：本题主要考查事件的包含关系与概率运算性质，涉及条件概率、集合运算的理解与应用。
解题核心思路：
- 利用集合关系简化表达式：已知 $B \subset A$，可推导出 $B \cap \overline{A} = \emptyset$，从而简化相关概率计算。
- 条件概率公式：$P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$，需结合事件包含关系判断公式变形后的等价性。
- 集合运算转换：如 $\overline{B} - \overline{A} = \overline{B} \cap A$，需通过集合运算律展开验证。
破题关键点：
- 选项B的验证：通过集合分解与概率加法公式，证明等式成立。
- 选项C、D的反例构造：通过具体实例说明等式不必然成立。
选项A分析
表达式：$P(\overline{A}B) = 1 - P(A)$
- 关键推导：
- $B \subset A \Rightarrow B \cap \overline{A} = \emptyset$，故 $P(\overline{A}B) = 0$。
- 右边 $1 - P(A) = P(\overline{A})$，一般不为0。
- 结论：等式不成立，A错误。
选项B分析
表达式：$P(\overline{B} - \overline{A}) = P(\overline{B}) - P(\overline{A})$
- 关键推导：
- $\overline{B} - \overline{A} = \overline{B} \cap A$（集合运算转换）。
- 左边 $P(\overline{B} \cap A) = P(A \setminus B) = P(A) - P(B)$。
- 右边展开：$P(\overline{B}) - P(\overline{A}) = (1 - P(B)) - (1 - P(A)) = P(A) - P(B)$。
- 结论：等式成立，B正确。
选项C分析
表达式：$P(B|A) = P(B)$
- 关键推导：
- $P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)}$（因 $B \subset A$）。
- 等式成立需 $\frac{P(B)}{P(A)} = P(B) \Rightarrow P(A) = 1$，但题目未限定此条件。
- 反例：设 $A = \{1,2,3,4\}$，$B = \{1,2\}$，则 $P(B|A) = \frac{1}{2} \ne P(B) = \frac{1}{3}$。
- 结论：等式不成立，C错误。
选项D分析
表达式：$P(A|B) = P(A)$
- 关键推导：
- $P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$（因 $B \subset A$）。
- $P(A)$ 一般小于1，除非 $A$ 是必然事件。
- 结论：等式不成立，D错误。