题目
假设随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，求X与|X-1|相关系数rho 。
假设随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，求X与|X-1|相关系数$\rho $。
题目解答
答案
X~U[0,2]，所以E(X)=1，
|X-1|~U[0,1]，所以E|X-1|=$\frac{1}{2}$，
E(X|X-1|)=$\int_{2}^{0} {\frac{1}{2} X|X-1|}\,{\rm dx}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\rho $=E(X|X-1|)-E(X)·E(|X-1|)
=$\frac{1}{2}$-1×$\frac{1}{2}$=0，
所以相关系数$\rho $的值为为0。
解析
步骤 1：计算E(X)
随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，所以E(X)=$\frac{0+2}{2}$=1。
步骤 2：计算E(|X-1|)
|X-1|在区间[0,1]上服从均匀分布，所以E(|X-1|)=$\frac{0+1}{2}$=$\frac{1}{2}$。
步骤 3：计算E(X|X-1|)
E(X|X-1|)=$\int_{0}^{2} {\frac{1}{2} X|X-1|}\,{\rm dx}$=$\int_{0}^{1} {\frac{1}{2} X(1-X)}\,{\rm dx}$+$\int_{1}^{2} {\frac{1}{2} X(X-1)}\,{\rm dx}$=$\frac{1}{2}$。
步骤 4：计算相关系数$\rho $
$\rho $=E(X|X-1|)-E(X)·E(|X-1|)
=$\frac{1}{2}$-1×$\frac{1}{2}$=0。
随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，所以E(X)=$\frac{0+2}{2}$=1。
步骤 2：计算E(|X-1|)
|X-1|在区间[0,1]上服从均匀分布，所以E(|X-1|)=$\frac{0+1}{2}$=$\frac{1}{2}$。
步骤 3：计算E(X|X-1|)
E(X|X-1|)=$\int_{0}^{2} {\frac{1}{2} X|X-1|}\,{\rm dx}$=$\int_{0}^{1} {\frac{1}{2} X(1-X)}\,{\rm dx}$+$\int_{1}^{2} {\frac{1}{2} X(X-1)}\,{\rm dx}$=$\frac{1}{2}$。
步骤 4：计算相关系数$\rho $
$\rho $=E(X|X-1|)-E(X)·E(|X-1|)
=$\frac{1}{2}$-1×$\frac{1}{2}$=0。