题目
若点(1,-2)为曲线y=ax^3-bx^2的拐点,则常数a与b的值应分别为A. 1和3B. 3和1C. -2和6D. 6和-2
若点(1,-2)为曲线y=ax^3-bx^2的拐点,则常数a与b的值应分别为
A. 1和3
B. 3和1
C. -2和6
D. 6和-2
题目解答
答案
A. 1和3
解析
步骤 1：确定拐点的定义
拐点是曲线的凹凸性发生变化的点，即二阶导数的符号发生变化的点。因此，拐点处的二阶导数为0。
步骤 2：计算一阶导数
给定曲线为 \(y = ax^3 - bx^2\)，计算一阶导数 \(y'\)：
\[y' = 3ax^2 - 2bx\]
步骤 3：计算二阶导数
计算二阶导数 \(y''\)：
\[y'' = 6ax - 2b\]
步骤 4：利用拐点条件
由于点(1,-2)是拐点，所以 \(y''(1) = 0\)，代入 \(x = 1\)：
\[6a(1) - 2b = 0\]
\[6a - 2b = 0\]
\[3a = b\]
步骤 5：利用点(1,-2)在曲线上
将点(1,-2)代入原方程 \(y = ax^3 - bx^2\)：
\[-2 = a(1)^3 - b(1)^2\]
\[-2 = a - b\]
结合步骤4中的 \(b = 3a\)，代入上式：
\[-2 = a - 3a\]
\[-2 = -2a\]
\[a = 1\]
\[b = 3a = 3\]
拐点是曲线的凹凸性发生变化的点，即二阶导数的符号发生变化的点。因此，拐点处的二阶导数为0。
步骤 2：计算一阶导数
给定曲线为 \(y = ax^3 - bx^2\)，计算一阶导数 \(y'\)：
\[y' = 3ax^2 - 2bx\]
步骤 3：计算二阶导数
计算二阶导数 \(y''\)：
\[y'' = 6ax - 2b\]
步骤 4：利用拐点条件
由于点(1,-2)是拐点，所以 \(y''(1) = 0\)，代入 \(x = 1\)：
\[6a(1) - 2b = 0\]
\[6a - 2b = 0\]
\[3a = b\]
步骤 5：利用点(1,-2)在曲线上
将点(1,-2)代入原方程 \(y = ax^3 - bx^2\)：
\[-2 = a(1)^3 - b(1)^2\]
\[-2 = a - b\]
结合步骤4中的 \(b = 3a\)，代入上式：
\[-2 = a - 3a\]
\[-2 = -2a\]
\[a = 1\]
\[b = 3a = 3\]