题目
设总体X的分布律为-|||-x 1 2 3-|||-p θ^2 .(1-0) .((1-theta ))^2-|||-其中 theta (0lt theta lt 1) 为未知参数,已知样本值 _(1)=1 ,_(2)=2 ,_(3)=1 .试求:(1)θ的矩估计值;-|||-(2)θ的最大似然估计值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解矩估计值
首先，我们需要计算总体X的期望值E(X)。根据分布律，我们有：
$E(X) = 1 \cdot \theta^2 + 2 \cdot 2\theta(1-\theta) + 3 \cdot (1-\theta)^2$
$= \theta^2 + 4\theta(1-\theta) + 3(1-\theta)^2$
$= \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2$
$= 3 - 2\theta$
因此，矩估计量为 $\hat{\theta} = \frac{3 - \overline{X}}{2}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值。
步骤 2：计算样本均值
根据已知的样本值 ${x}_{1}=1$，${x}_{2}=2$，${x}_{3}=1$，我们计算样本均值 $\overline{X}$：
$\overline{X} = \frac{1 + 2 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
步骤 3：求解矩估计值
将样本均值代入矩估计量公式中，得到：
$\hat{\theta} = \frac{3 - \frac{4}{3}}{2} = \frac{5}{6}$
步骤 4：求解最大似然估计值
似然函数为：
$L(\theta) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 = 2\theta^5(1-\theta)$
对似然函数求导，得到：
$\frac{dL(\theta)}{d\theta} = 10\theta^4(1-\theta) - 2\theta^5 = 0$
解得 $\theta = \frac{5}{6}$。
首先，我们需要计算总体X的期望值E(X)。根据分布律，我们有：
$E(X) = 1 \cdot \theta^2 + 2 \cdot 2\theta(1-\theta) + 3 \cdot (1-\theta)^2$
$= \theta^2 + 4\theta(1-\theta) + 3(1-\theta)^2$
$= \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2$
$= 3 - 2\theta$
因此，矩估计量为 $\hat{\theta} = \frac{3 - \overline{X}}{2}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值。
步骤 2：计算样本均值
根据已知的样本值 ${x}_{1}=1$，${x}_{2}=2$，${x}_{3}=1$，我们计算样本均值 $\overline{X}$：
$\overline{X} = \frac{1 + 2 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
步骤 3：求解矩估计值
将样本均值代入矩估计量公式中，得到：
$\hat{\theta} = \frac{3 - \frac{4}{3}}{2} = \frac{5}{6}$
步骤 4：求解最大似然估计值
似然函数为：
$L(\theta) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 = 2\theta^5(1-\theta)$
对似然函数求导，得到：
$\frac{dL(\theta)}{d\theta} = 10\theta^4(1-\theta) - 2\theta^5 = 0$
解得 $\theta = \frac{5}{6}$。