25.（填空题，4.0分）已知四阶行列D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，-7，4，则D=____.

考查要点：本题主要考查行列式按列展开的性质，即行列式等于其任一列元素与其对应的代数余子式乘积之和。

解题核心思路：

1. 明确代数余子式的定义：代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式。
2. 符号因子的计算：根据元素所在行 $i$ 和列 $j$，符号因子为 $(-1)^{i+j}$。
3. 按第三列展开行列式：将第三列元素与对应的代数余子式相乘后求和。

破题关键点：

• 区分余子式与代数余子式：题目中给出的余子式是 $M_{ij}$，需通过符号因子转换为代数余子式 $A_{ij}$。
• 逐项计算：注意符号因子的正负，避免计算错误。

根据行列式按列展开的公式，四阶行列式 $D$ 按第三列展开为：
$D = a_{13}A_{13} + a_{23}A_{23} + a_{33}A_{33} + a_{43}A_{43}$

步骤分解：

1. 确定第三列元素：$a_{13} = -1$，$a_{23} = 2$，$a_{33} = 0$，$a_{43} = 1$。
2. 计算代数余子式：
   • $A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$
   • $A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot 3 = -1 \cdot 3 = -3$
   • $A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot (-7) = 1 \cdot (-7) = -7$
   • $A_{43} = (-1)^{4+3} \cdot 4 = -1 \cdot 4 = -4$
3. 代入公式求和：
   $D = (-1) \cdot 5 + 2 \cdot (-3) + 0 \cdot (-7) + 1 \cdot (-4) = -5 -6 -4 = -15$