题目

设((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n))是取自泊松分布((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n))的样本，则((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n))

设 $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 是取自泊松分布 $P(3)$ 的样本，则 $E(\overline{X})=$

题目解答

答案

∵ $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 是取自泊松分布 $P(3)$ 的样本

∴ $E\left(X_i\right)=3$ ，且 $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 相互独立。

∵ $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

∴ $E\left(\overline{X}\right)=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE\left(X_i\right)=3$

所以 $E(\overline{X})=3$ .

解析

步骤 1：定义样本和分布
(X1,X2,···,Xn)是取自泊松分布P(3)的样本，即每个Xi都独立地服从参数为3的泊松分布。
步骤 2：计算样本均值的期望
样本均值$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，其中Xi是独立的泊松随机变量。
步骤 3：利用期望的线性性质
由于期望是线性的，我们有$E(\overline {X})=E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i})$。
步骤 4：计算每个Xi的期望
由于每个Xi都服从参数为3的泊松分布，所以$E({X}_{i})=3$。
步骤 5：计算样本均值的期望
将每个Xi的期望值代入，得到$E(\overline {X})=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}3=\dfrac {1}{n}\times n\times 3=3$。