题目
设X～N（2，σ2），且P（2＜X＜4）=0.3413，求（1）σ；（2）P（X＜0）．
设X～N（2，σ2），且P（2＜X＜4）=0.3413，
求（1）σ；
（2）P（X＜0）．
求（1）σ；
（2）P（X＜0）．
题目解答
答案
解：（1）X～N（2，σ2），且P（2＜X＜4）=0.3413，P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827，
P（2＜X＜4）=$\frac{1}{2}$P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.3413，
所以该正态分布曲线的对称轴为x=2，
所以μ+σ=4，
解得σ=2；
（2）P（X＜0）=P（X＜2）-P（0＜X＜2）=P（X＜2）-P（2＜X＜4）=0.5-0.3413=0.1587．
P（2＜X＜4）=$\frac{1}{2}$P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.3413，
所以该正态分布曲线的对称轴为x=2，
所以μ+σ=4，
解得σ=2；
（2）P（X＜0）=P（X＜2）-P（0＜X＜2）=P（X＜2）-P（2＜X＜4）=0.5-0.3413=0.1587．
解析
步骤 1：确定正态分布的对称轴
由于X～N（2，σ^{2}），正态分布的均值μ=2，因此对称轴为x=2。
步骤 2：利用正态分布的性质求σ
已知P（2＜X＜4）=0.3413，根据正态分布的性质，P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827，因此P（2＜X＜4）=$\frac{1}{2}$P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.3413。由此可知，μ+σ=4，解得σ=2。
步骤 3：计算P（X＜0）
P（X＜0）=P（X＜2）-P（0＜X＜2）=P（X＜2）-P（2＜X＜4）=0.5-0.3413=0.1587。
由于X～N（2，σ^{2}），正态分布的均值μ=2，因此对称轴为x=2。
步骤 2：利用正态分布的性质求σ
已知P（2＜X＜4）=0.3413，根据正态分布的性质，P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827，因此P（2＜X＜4）=$\frac{1}{2}$P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.3413。由此可知，μ+σ=4，解得σ=2。
步骤 3：计算P（X＜0）
P（X＜0）=P（X＜2）-P（0＜X＜2）=P（X＜2）-P（2＜X＜4）=0.5-0.3413=0.1587。