Chap3.1二维均匀分布设二维随机向量(X,Y)在区域x≥0,y≥0,x+y≤1服从均匀分布，则P(0≤X≤(1)/(2),0≤Y≤(1)/(2))=（）A (3)/(4)B (1)/(4)C (1)/(8)D (1)/(2)
题目解答
答案
根据题意，二维随机向量 $(X, Y)$ 在区域 $D = \{(x, y) \mid x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 1\}$ 上服从均匀分布。
第一步：确定区域 $D$ 的面积
区域 $D$ 是由直线 $x = 0$（y轴）、$y = 0$（x轴）和 $x + y = 1$ 围成的三角形。
该三角形的顶点分别为 $(0, 0)$、$(1, 0)$ 和 $(0, 1)$。
其底为 $1$，高为 $1$，因此区域 $D$ 的面积为：
$S_D = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$
第二步：确定联合概率密度函数
因为 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，所以其联合概率密度函数 $f(x, y)$ 为常数，且等于区域面积的倒数：
$f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{S_D} = 2, & (x, y) \in D \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
第三步：计算目标概率
我们需要计算的概率是 $P\{0 \le X \le \frac{1}{2}, 0 \le Y \le \frac{1}{2}\}$。
这相当于求联合概率密度函数在区域 $D$ 与矩形区域 $R = \{(x, y) \mid 0 \le x \le \frac{1}{2}, 0 \le y \le \frac{1}{2}\}$ 的交集上的积分。
我们先找出这两个区域的交集部分。
区域 $D$ 的边界是 $x + y \le 1$。
对于矩形区域 $R$，其四个顶点为 $(0, 0)$、$(\frac{1}{2}, 0)$、$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、$(0, \frac{1}{2})$。
检查这些顶点是否都在区域 $D$ 内：
- $(0, 0)$：$0 + 0 = 0 \le 1$，在 $D$ 内。
- $(\frac{1}{2}, 0)$：$\frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} \le 1$，在 $D$ 内。
- $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$：$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \le 1$，在 $D$ 的边界上。
- $(0, \frac{1}{2})$：$0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \le 1$，在 $D$ 内。
由于矩形 $R$ 的所有顶点都满足 $x + y \le 1$，且 $R$ 是一个凸集，因此整个矩形区域 $R$ 都包含在区域 $D$ 内。
因此，所求概率即为在矩形区域 $R$ 上对概率密度函数 $f(x, y) = 2$ 进行积分：
$P\left\{0 \le X \le \frac{1}{2}, 0 \le Y \le \frac{1}{2}\right\} = \iint_{R} f(x, y) \,dx\,dy$
$= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2 \,dy\,dx$
$= 2 \times \left( \int_{0}^{\frac{1}{2}} dx \right) \times \left( \int_{0}^{\frac{1}{2}} dy \right)$
$= 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$
$= \frac{1}{2}$
对比选项，正确答案是 D。
解析
本题考查二维均匀分布的概率计算。解题思路如下：
- 首先确定二维随机向量$(X,Y)$所服从均匀分布的区域$D$，并计算该区域的面积$S_D$。
- 根据二维均匀分布的性质，得到联合概率密度函数$f(x,y)$。
- 确定要求概率的区域，即区域$D$与给定矩形区域$R$的交集，然后计算该交集区域上联合概率密度函数的积分，从而得到所求概率。
详细解答
- 确定区域$D$的面积：
区域$D = \{(x, y) \mid x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 1\}$是由直线$x = 0$（$y$轴）、$y = 0$（$x$轴）和$x + y = 1$围成的三角形。
该三角形的顶点分别为$(0, 0)$、$(1, 0)$和$(0, 1)$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，这里底为$1$，高为$1$，所以区域$D$的面积为：
$S_D = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$ - 确定联合概率密度函数：
因为$(X, Y)$在区域$D$上服从均匀分布，所以其联合概率密度函数$f(x, y)$为常数，且等于区域面积的倒数，即：
$f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{S_D} = 2, & (x, y) \in D \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ - 计算目标概率：
要求的概率是$P\{0 \le X \le \frac{1}{2}, 0 \le Y \le \frac{1}{2}\}$，这相当于求联合概率密度函数在区域$D$与矩形区域$R = \{(x, y) \mid 0 \le x \le \frac{1}{2}, 0 \le y \le \frac{1}{2}\}$的交集上的积分。
矩形区域$R$的四个顶点为$(0, 0)$、$(\frac{1}{2}, 0)$、$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、$(0, \frac{1}{2})$。
检查这些顶点是否都在区域$D$内：
- 对于顶点$(0, 0)$，$0 + 0 = 0 \le 1$，在$D$内。
- 对于顶点$(\frac{1}{2}, 0)$，$\frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} \le 1$，在$D$内。
- 对于顶点$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$，$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \le 1$，在$D$的边界上。
- 对于顶点$(0, \frac{1}{2})$，$0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \le 1$，在$D$内。
由于矩形$R$的所有顶点都满足$x + y \le 1$，且$R$是一个凸集，所以整个矩形区域$R$都包含在区域$D$内。
因此，所求概率即为在矩形区域$R$上对概率密度函数$f(x, y) = 2$进行积分：
$\begin{align*}P\left\{0 \le X \le \frac{1}{2}, 0 \le Y \le \frac{1}{2}\right\} &= \iint_{R} f(x, y) \,dx\,dy\\&= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2 \,dy\,dx\\&= 2 \times \left( \int_{0}^{\frac{1}{2}} dx \right) \times \left( \int_{0}^{\frac{1}{2}} dy \right)\\&= 2 \times \left[x\right]_{0}^{\frac{1}{2}} \times \left[y\right]_{0}^{\frac{1}{2}}\\&= 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\\&= \frac{1}{2}\end{align*}$