题目
求直线 ) x+y+3z=0 x-y-z=0 .方向向量.
求直线
方向向量.
题目解答
答案
考查直线方向向量，可以先求过直线的量平面的法向量，再求两平面法向量的叉乘即可。
由题意知：
,
在将两个方向向量叉乘：
解析
步骤 1：确定平面的法向量
给定的方程组表示两个平面，每个平面的法向量可以通过方程的系数直接得到。对于方程$x+y+3z=0$，其法向量为$\overrightarrow{n_1}=(1,1,3)$；对于方程$x-y-z=0$，其法向量为$\overrightarrow{n_2}=(1,-1,-1)$。
步骤 2：计算两个法向量的叉乘
直线的方向向量可以通过两个平面的法向量的叉乘得到。计算$\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}$，即
$$
\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & 3 \\
1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)
= \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(-2)
= (2, 4, -2)
$$
步骤 3：简化方向向量
方向向量可以简化为$(1, 2, -1)$，因为方向向量的长度不影响方向，所以可以将$(2, 4, -2)$除以2得到简化形式。
给定的方程组表示两个平面，每个平面的法向量可以通过方程的系数直接得到。对于方程$x+y+3z=0$，其法向量为$\overrightarrow{n_1}=(1,1,3)$；对于方程$x-y-z=0$，其法向量为$\overrightarrow{n_2}=(1,-1,-1)$。
步骤 2：计算两个法向量的叉乘
直线的方向向量可以通过两个平面的法向量的叉乘得到。计算$\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}$，即
$$
\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & 3 \\
1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)
= \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(-2)
= (2, 4, -2)
$$
步骤 3：简化方向向量
方向向量可以简化为$(1, 2, -1)$，因为方向向量的长度不影响方向，所以可以将$(2, 4, -2)$除以2得到简化形式。