题目
4.[填空题] 设随机变量X~N(0,1)，则P(|X|<1)=____
4.[填空题] 设随机变量X~N(0,1)，则P(|X|<1)=____
题目解答
答案
设随机变量 $X \sim N(0,1)$，则 $P(|X| < 1) = P(-1 < X < 1)$。利用正态分布的对称性，有： \[ P(-1 < X < 1) = 2P(0 < X < 1) \] 查标准正态分布表得 $\Phi(1) \approx 0.8413$，则： \[ P(0 < X < 1) = \Phi(1) - \Phi(0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413 \] 因此： \[ P(-1 < X < 1) \approx 2 \times 0.3413 = 0.6826 \] 或直接利用正态分布性质，约68.26%的数据在均值一个标准差内。 答案：$\boxed{0.6826}$
解析
考查要点：本题主要考查标准正态分布的概率计算，涉及对称性应用及分布函数的查表方法。
解题核心思路：
- 理解绝对值概率的转化：将$P(|X|<1)$转化为区间概率$P(-1
- 利用对称性简化计算：标准正态分布关于均值对称，可将区间分为两部分，简化为两倍单边概率。
- 查标准正态分布表：通过累积分布函数$\Phi(x)$的值计算概率。
破题关键点：
- 对称性分解：$P(-1
- 分布函数查表：$\Phi(1) - \Phi(0)$对应单边概率，再乘以2得到最终结果。
步骤1：转化绝对值概率
由题意，$P(|X|<1) = P(-1 < X < 1)$。
步骤2：利用对称性分解区间
标准正态分布关于$X=0$对称，因此：
$P(-1 < X < 1) = P(-1 < X < 0) + P(0 < X < 1) = 2P(0 < X < 1).$
步骤3：计算单边概率
根据标准正态分布的累积分布函数$\Phi(x)$：
$P(0 < X < 1) = \Phi(1) - \Phi(0).$
查表得$\Phi(1) \approx 0.8413$，$\Phi(0) = 0.5$，代入得：
$P(0 < X < 1) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413.$
步骤4：计算总概率
将单边概率乘以2：
$P(-1 < X < 1) = 2 \times 0.3413 = 0.6826.$