1.必答[单选题]若a_(11)a_(2i)a_(3j)a_(44)a_(52)是五阶行列式中带正号的一项，则i,j的值为（）A. i=3,j=5B. i=5,j=3C. i=1,j=2D. i=2,j=1

本题考查五阶行列式的定义以及逆序数的计算。解题的关键在于根据行列式的定义确定列标排列的逆序数，再结合该项带正号这一条件来确定$i$和$j$的值。

1. 首先明确五阶行列式的定义：
   • 五阶行列式中每一项都是取自不同行不同列的五个元素的乘积，其一般形式为$(-1)^{\tau(p_1p_2p_3p_4p_5)}a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}a_{5p_5}$，其中$\tau(p_1p_2p_3p_4p_5)$是列标排列$p_1p_2p_3p_4p_5$的逆序数。
   • 对于$a_{11}a_{2i}a_{3j}a_{44}a_{52}$，其列标排列为$1i j 4 2$。
2. 然后根据行列式中每一项的列标是$1$到$n$的一个排列，可知$i$和$j$只能从$3$和$5$中取值，所以有两种情况：
   • 情况一：当$i = 3$，$j = 5$时
     • 计算列标排列$13542$的逆序数$\tau(13542)$。
     • 逆序数是指在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
     • 对于排列$13542$：
       • 从第一个数$1$开始，$1$后面比$1$小的数的个数为$0$个；
       • $3$后面比$3$小的数有$2$，共$1$个；
       • $5$后面比$5$小的数有$4$，$2$，共$2$个；
       • $4$后面比$4$小的数有$2$，共$1$个；
       • $2$后面比$2$小的数的个数为$0$个。
       • 所以$\tau(13542)=0 + 1+2 + 1+0=4$。
     • 根据行列式项的符号规则$(-1)^{\tau(13542)}=(-1)^4 = 1$，该项带正号，符合题意。
   • 情况二：当$i = 5$，$j = 3$时
     • 计算列标排列$15342$的逆序数$\tau(15342)$。
     • 对于排列$15342$：
       • $1$后面比$1$小的数的个数为$0$个；
       • $5$后面比$5$小的数有$3$，$4$，$2$，共$3$个；
       • $3$后面比$3$小的数有$2$，共$1$个；
       • $4$后面比$4$小的数有$2$，共$1$个；
       • $2$后面比$2$小的数的个数为$0$个。
       • 所以$\tau(15342)=0 + 3+1 + 1+0=5$。
     • 根据行列式项的符号规则$(-1)^{\tau(15342)}=(-1)^5=-1$，该项带负号，不符合题意。