题目
正常人的脉搏平均为72次/分。某医生测得10例慢性铅中毒患者的脉搏均值为67.4次/分,标准差为5.929。设人的脉搏次数/分近似服从正态分布。(1) 取 =0.05,是否可以认为铅中毒患者的脉搏均值为72次/分。(2) 求铅中毒患者脉搏均值的0.95的置信区间。(附:)
正常人的脉搏平均为72次/分。某医生测得10例慢性铅中毒患者的脉搏均值为67.4次/分,标准差为5.929。设人的脉搏次数/分近似服从正态分布。
(1) 取 =0.05,是否可以认为铅中毒患者的脉搏均值为72次/分。
(2) 求铅中毒患者脉搏均值的0.95的置信区间。
(附:)
题目解答
答案
解:(1)假设
;
;
末知,
,
,
所以,
,故拒绝假设,即认为铅中毒患者的脉搏均值不是72次/分。
(2)
,;末知
对于给定置信度
,
的置信区间为:
=(63.16 , 71.64),所以,置信度0.95的置信区间为(63.16 , 71.64)。
解析
步骤 1：假设检验
- 假设：$H_0: \mu = 72$，$H_1: \mu \neq 72$。
- 由于样本量较小（n=10），且总体标准差未知，使用t检验。
- 计算t统计量：$t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$，其中$\overline{X} = 67.4$，$\mu_0 = 72$，$S = 5.929$，$n = 10$。
- 查t分布表，自由度df = n - 1 = 9，显著性水平$\alpha = 0.05$，双侧检验，得到临界值$t_{0.025}(9) = 2.2622$。
步骤 2：计算t统计量
- $t = \frac{67.4 - 72}{5.929/\sqrt{10}} = \frac{-4.6}{1.873} = -2.4534$。
步骤 3：比较t统计量与临界值
- $|t| = 2.4534 > 2.2622$，拒绝原假设$H_0$，认为铅中毒患者的脉搏均值不是72次/分。
步骤 4：计算置信区间
- 置信度0.95，自由度df = 9，查t分布表得到临界值$t_{0.025}(9) = 2.2622$。
- 置信区间为：$\overline{X} \pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$。
- 计算得到：$67.4 \pm 2.2622 \times \frac{5.929}{\sqrt{10}}$。
- 置信区间为：$(67.4 - 2.2622 \times 1.873, 67.4 + 2.2622 \times 1.873) = (63.16, 71.64)$。
- 假设：$H_0: \mu = 72$，$H_1: \mu \neq 72$。
- 由于样本量较小（n=10），且总体标准差未知，使用t检验。
- 计算t统计量：$t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$，其中$\overline{X} = 67.4$，$\mu_0 = 72$，$S = 5.929$，$n = 10$。
- 查t分布表，自由度df = n - 1 = 9，显著性水平$\alpha = 0.05$，双侧检验，得到临界值$t_{0.025}(9) = 2.2622$。
步骤 2：计算t统计量
- $t = \frac{67.4 - 72}{5.929/\sqrt{10}} = \frac{-4.6}{1.873} = -2.4534$。
步骤 3：比较t统计量与临界值
- $|t| = 2.4534 > 2.2622$，拒绝原假设$H_0$，认为铅中毒患者的脉搏均值不是72次/分。
步骤 4：计算置信区间
- 置信度0.95，自由度df = 9，查t分布表得到临界值$t_{0.025}(9) = 2.2622$。
- 置信区间为：$\overline{X} \pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$。
- 计算得到：$67.4 \pm 2.2622 \times \frac{5.929}{\sqrt{10}}$。
- 置信区间为：$(67.4 - 2.2622 \times 1.873, 67.4 + 2.2622 \times 1.873) = (63.16, 71.64)$。