题目
练习 设随机变量X~b(12,0.5),Y~N(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差.(答案33,44,-22)
练习 设随机变量X~b(12,0.5),Y~N(0,1),
Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y
的方差与协方差.(答案33,44,-22)
题目解答
答案
已知 $X \sim B(12, 0.5)$，$Y \sim N(0, 1)$，$Cov(X, Y) = -1$。
计算得：
\[ D(X) = 12 \times 0.5 \times 0.5 = 3, \quad D(Y) = 1. \]
**方差计算：**
\[ D(V) = D(4X + 3Y + 1) = 16D(X) + 9D(Y) + 2 \times 4 \times 3 \times (-1) = 16 \times 3 + 9 \times 1 - 24 = 33, \]
\[ D(W) = D(-2X + 4Y) = 4D(X) + 16D(Y) - 16Cov(X, Y) = 4 \times 3 + 16 \times 1 + 16 = 44. \]
**协方差计算：**
\[ Cov(V, W) = Cov(4X + 3Y, -2X + 4Y) = -8D(X) + 10Cov(X, Y) + 12D(Y) = -8 \times 3 + 10 \times (-1) + 12 \times 1 = -22. \]
**答案：**
\[ \boxed{
\begin{aligned}
D(V) &= 33, \\
D(W) &= 44, \\
Cov(V, W) &= -22.
\end{aligned}
} \]
解析
考查要点：本题主要考查随机变量线性组合的方差与协方差的计算，涉及二项分布和正态分布的方差性质，以及协方差的双线性性质。
解题核心思路：
- 确定各随机变量的方差：根据二项分布和正态分布的性质，分别计算$D(X)$和$D(Y)$。
- 方差计算：利用方差的线性性质，展开线性组合的方差，注意常数项对方差无影响。
- 协方差计算：利用协方差的双线性性质，将协方差分解为各分量的协方差之和，注意符号处理。
破题关键点：
- 二项分布方差公式：$D(X) = n p (1-p)$。
- 正态分布方差：标准正态分布方差为$1$。
- 协方差性质：$Cov(aX+bY, cZ+dW) = acCov(X,Z) + adCov(X,W) + bcCov(Y,Z) + bdCov(Y,W)$。
1. 计算$D(X)$和$D(Y)$
- 二项分布$X \sim B(12, 0.5)$：
$D(X) = 12 \times 0.5 \times 0.5 = 3$ - 标准正态分布$Y \sim N(0,1)$：
$D(Y) = 1$
2. 计算$D(V)$和$D(W)$
$D(V) = D(4X + 3Y + 1)$
- 常数项$+1$对方差无影响，展开得：
$D(V) = 4^2 D(X) + 3^2 D(Y) + 2 \times 4 \times 3 \times Cov(X,Y)$ - 代入数值：
$D(V) = 16 \times 3 + 9 \times 1 + 24 \times (-1) = 48 + 9 - 24 = 33$
$D(W) = D(-2X + 4Y)$
- 展开得：
$D(W) = (-2)^2 D(X) + 4^2 D(Y) + 2 \times (-2) \times 4 \times Cov(X,Y)$ - 代入数值：
$D(W) = 4 \times 3 + 16 \times 1 + (-16) \times (-1) = 12 + 16 + 16 = 44$
3. 计算$Cov(V, W)$
- 展开$Cov(4X + 3Y, -2X + 4Y)$：
$Cov(V, W) = 4 \times (-2) D(X) + 4 \times 4 Cov(X,Y) + 3 \times (-2) Cov(Y,X) + 3 \times 4 D(Y)$ - 代入数值：
$Cov(V, W) = -8 \times 3 + 16 \times (-1) + (-6) \times (-1) + 12 \times 1 = -24 -16 +6 +12 = -22$