题目
设X1,X2,···,Xn是来自总体X的简单随机样本,已知-|||-((X)^k)=(a)_(k)(k=1,2,3,4). 证明当n充分大时, _(n)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2 近似-|||-服从正态分布,并指出其分布参数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 ${Z}_{n}$ 的期望值
根据题设，$E({X}^{k})={a}_{k}$，其中 $k=1,2,3,4$。因此，$E({{X}_{i}}^{2})={a}_{2}$。由于 ${Z}_{n}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$，则 ${Z}_{n}$ 的期望值为：
$$E({Z}_{n})=E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({{X}_{i}}^{2})=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{a}_{2}={a}_{2}$$
步骤 2：确定 ${Z}_{n}$ 的方差
${Z}_{n}$ 的方差为：
$$D({Z}_{n})=D(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\dfrac {1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D({{X}_{i}}^{2})$$
由于 ${{X}_{i}}^{2}$ 是独立同分布的，所以 $D({{X}_{i}}^{2})$ 对所有 $i$ 都相等。因此，$D({Z}_{n})=\dfrac {1}{n}D({{X}_{i}}^{2})$。根据方差的定义，$D({{X}_{i}}^{2})=E({{X}_{i}}^{4})-E({{X}_{i}}^{2})^2={a}_{4}-{{a}_{2}}^{2}$。因此，${Z}_{n}$ 的方差为：
$$D({Z}_{n})=\dfrac {1}{n}({a}_{4}-{{a}_{2}}^{2})$$
步骤 3：应用中心极限定理
根据林德贝格-莱维中心极限定理，当 $n$ 充分大时，${Z}_{n}$ 近似服从正态分布。因此，${Z}_{n}$ 近似服从正态分布 $N({a}_{2},\dfrac {{a}_{4}-{{a}_{2}}^{2}}{n})$。
根据题设，$E({X}^{k})={a}_{k}$，其中 $k=1,2,3,4$。因此，$E({{X}_{i}}^{2})={a}_{2}$。由于 ${Z}_{n}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$，则 ${Z}_{n}$ 的期望值为：
$$E({Z}_{n})=E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({{X}_{i}}^{2})=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{a}_{2}={a}_{2}$$
步骤 2：确定 ${Z}_{n}$ 的方差
${Z}_{n}$ 的方差为：
$$D({Z}_{n})=D(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\dfrac {1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D({{X}_{i}}^{2})$$
由于 ${{X}_{i}}^{2}$ 是独立同分布的，所以 $D({{X}_{i}}^{2})$ 对所有 $i$ 都相等。因此，$D({Z}_{n})=\dfrac {1}{n}D({{X}_{i}}^{2})$。根据方差的定义，$D({{X}_{i}}^{2})=E({{X}_{i}}^{4})-E({{X}_{i}}^{2})^2={a}_{4}-{{a}_{2}}^{2}$。因此，${Z}_{n}$ 的方差为：
$$D({Z}_{n})=\dfrac {1}{n}({a}_{4}-{{a}_{2}}^{2})$$
步骤 3：应用中心极限定理
根据林德贝格-莱维中心极限定理，当 $n$ 充分大时，${Z}_{n}$ 近似服从正态分布。因此，${Z}_{n}$ 近似服从正态分布 $N({a}_{2},\dfrac {{a}_{4}-{{a}_{2}}^{2}}{n})$。