题目

22.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本,它们的均值和标准差如表 7-7 所示。-|||-表 7-7-|||-来自总体1的样本来自总体2的样本-|||-overline ({x)_(1)}=25 (overline {{x)_(2)}=23}-|||-({S)_(1)}^2=16 ({S)_(2)}^2=20-|||-(1)设 _(1)=(n)_(2)=100, 求 (mu )_(1)-(mu )_(2) 的95%的置信区间。-|||-(2)设 _(1)=(n)_(2)=10, ({sigma )_(1)}^2=({sigma )_(2)}^2, 求 (mu )_(1)-(mu )_(2) 的95%的置信区间。-|||-(3)设 _(1)=(n)_(2)=10, ({sigma )_(1)}^2neq ({sigma )_(2)}^2, 求 (mu )_(1)-(mu )_(2) 的95%的置信区间。-|||-(4)设 _(1)=10, _(2)=20, ({sigma )_(1)}^2=({sigma )_(2)}^2, 求 (mu )_(1)-(mu )_(2) 的95%的置信区间。-|||-(5)设 _(1)=10, _(2)=20, ({sigma )_(1)}^2neq ({sigma )_(2)}^2, 求 (mu )_(1)-(mu )_(2) 的95%的置信区间。l;

题目解答

本题主要考察两个正态总体均值差$\mu_1 - \mu_2$的置信区间计算，需根据样本量大小（大样本/小样本）、总体方差是否已知（或是否相等）选择不同的统计量和计算方法，具体如下：

(1) 大样本，$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知

条件：$n_1=n_2=100$（大样本），用样本方差$S_1^2=16$、$S_2^2=20$估计总体方差。
统计量：正态分布$Z \sim N(0,1)$，临界值$z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。
置信区间公式：$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}$。
计算：
$(25-23) \pm 1.96\sqrt{\frac{16}{100} + \frac{20}{100}} = 2 \pm 1.96\sqrt{0.36} = 2 \pm 1.176$
结果：$(0.824, 3.176)$。

(2) 小样本，$\sigma_1^2=\sigma_2^2$未知

条件：$n_1=n_2=10$（小样本），总体方差相等，需合并方差。
合并方差：$s_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{9\times16 + 9\times20}{18} = 18$。
统计量：$t \sim t(n_1+n_2-2)=t(18)$，临界值$t_{0.025}(18)=2.101$。
置信区间公式：$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)s_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$。
计算：
$2 \pm 2.101\sqrt{18\times(\frac{1}{10}+\frac{1}{10})} = 2 \pm 2.101\sqrt{3.6} \approx 2 \pm 3.986$
结果：$(-1.986, 5.986)$。

(3) 小样本，$\sigma_1^2\neq\sigma_2^2$未知

条件：$n_1=n_2=10$（小样本），总体方差不等，用近似自由度。
自由度：$v \approx \frac{(\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2})^2}{\frac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(S_2^^2/n_2)^2}{n_2-1}} \approx 17$。
统计量：$t \sim t(17)$，临界值$t_{0.025}(17)=2.11$。
置信区间公式：$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2}(v)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}$。
计算**：
$2 \pm 2.11\sqrt{\frac{16}{10} + \fracfrac} = 2 \pm 2.11\sqrt{3.6} \approx 2 \pm 4.003$
结果：$(-2.003, 6.003)$。

(4) 小样本，$\sigma_1^2=\sigma_2^2$未知，$n_1\neq n_2$

条件：$n_1=10,n_2=20$（小样本），总体方差相等，合并并方差。
合并方差：$s_p^2 = \frac{9\times16 + 19\times20}{}{28} \approx 18.71$。
统计量：$t \sim t(28)$，临界值$t_{0.025}(28)=2.048$。
置信区间公式：$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)s_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$。
计算：
$2 \pm 2.048\sqrt{18.71\times(\frac{1}{10}+\frac{1}{20})} \approx 2 \pm 3.431$
结果：$(-1.431, 5.431)$。

(5) 小样本，$\sigma_1^2\neq\sigma_2^2$未知，$n_1\neq n_2$

条件：$nn_1=10,n_2=20$（小样本），总体方差不等，用近似自由度。
自由度：$v \approx 20$（近似），临界值$t_{0.025}(20)=2.086$。
置信区间公式：$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2}(v)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}$。
计算：
$2 \pm 2.086\sqrt{\frac{16}{10} + \frac{20}{20}} = 2 \pm 2.086\sqrt{3.6} \approx 2 \pm 3.364$
结果：$(-1.364, 5.364)$。