6.已知 '(x)=1+(x)^2, 且 (0)=1, 求f(x).

本题考查不定积分的计算以及利用初始条件确定积分常数。解题思路是先对已知的导函数进行不定积分，得到原函数的一般形式，其中会包含一个积分常数$C$，然后再将给定的初始条件$f(0)=1$代入原函数，求出积分常数$C$的值，进而确定原函数$f(x)$的具体表达式。

1. 对导函数进行不定积分：
   已知$f^\prime(x)=1 + x^2$，根据不定积分的定义，$f(x)$是$f^\prime(x)$的一个原函数，所以$f(x)=\int f^\prime(x)dx$，即$f(x)=\int (1 + x^2)dx$。
   根据不定积分的加法法则$\int (u(x)+v(x))dx=\int u(x)dx+\int v(x)dx$，可得$f(x)=\int 1dx + \int x^2dx$。
   根据不定积分基本公式$\int kdx=kx+C$（$k$为常数），可得$\int 1dx = x$；根据不定积分基本公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得$\int x^2dx=\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1}=\frac{x^3}{3}$。
   所以$f(x)=x + \frac{x^3}{3}+C$，其中$C$为积分常数。
2. 确定积分常数$C$的值：
   已知$f(0)=1$，将$x = 0$代入$f(x)=x + \frac{x^3}{3}+C$中，可得$f(0)=0 + \frac{0^3}{3}+C$，即$1 = C$。
3. 得到原函数$f(x)$的具体表达式：
   将$C = 1$代入$f(x)=x + \frac{x^3}{3}+C$中，可得$f(x)=x + \frac{x^3}{3}+1$。