设总体sim N((0,3)^2), X1,X2···X18是来自总体X的样本，证明：统计量sim N((0,3)^2), X1,X2···X18服从参数9的t分布。

步骤 1：标准化正态分布
设${X}_{i}=\dfrac {{X}_{i}}{3}$，则${X}_{i}\sim N(0,1)$，因为$X\sim N(0,3^2)$，所以标准化后的${X}_{i}$服从标准正态分布$N(0,1)$。

步骤 2：求和的正态分布
设$X'={X}_{1}'+{X}_{2}'+\cdots+{X}_{9}'$，则$X'\sim N(0,9)$，因为每个${X}_{i}'$都是独立的$N(0,1)$分布，所以它们的和$X'$服从$N(0,9)$分布。

步骤 3：求和的平方和的卡方分布
设${Y'}_{12}={({X}_{10}')}^{2}+{({X}_{11}')}^{2}+\cdots+{({X}_{18}')}^{2}$，则${Y'}_{12}\sim \chi^{2}(9)$，因为每个${X}_{i}'$都是独立的$N(0,1)$分布，所以它们的平方和服从自由度为9的卡方分布$\chi^{2}(9)$。

步骤 4：构造t分布
$T=\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}+\cdots+{X}_{9}}{\sqrt {{{X}_{10}}^{2}+{{X}_{11}}^{2}+\cdots+{{X}_{18}}^{2}}}$
$=\dfrac {{x}_{1}+{x}_{2}+\cdots+{x}_{9}}{\sqrt {{({x}_{10})}^{2}+{({x}_{11})}^{2}+\cdots+{({x}_{18})}^{2}}}$
$=\dfrac {x'}{\sqrt {Y'_{12}}}$
$=\dfrac {\dfrac {x'}{3}}{\sqrt {\dfrac {Y'_{12}}{9}}}$
因为$\dfrac {X'}{3}\sim N(0,1)$，${Y'}_{12}\sim \chi^{2}(9)$，所以$T$服从参数为9的t分布。