33、判断 若P(A|B)=P(A|overline(B))，则A,B必然相互独立.A ×B √

题目分析

题目要求判断：若 $P(A \mid B) = P(A \mid \overline{B})$，则事件 $A, B$ 必然相互独立。我们需要根据条件概率的定义和事件独立的定义来进行推导。

1. 明确已知条件与目标

已知条件为：
$P(A \mid B) = P(A \mid \overline{B})$

我们需要判断是否能由此推出 $A, B$ 相互独立，即是否满足：
$P(AB) = P(A)P(B)$

2. 写出条件概率的表达式

根据条件概率公式：
$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$
$P(A \mid \overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} \quad (P(\overline{B}) > 0)$

这里需要注意，如果 $P(B) = 0$ 或 $P(B) = 1$，那么 $B$ 是零概率事件或必然事件的补集，此时 $A, B$ 总是相互独立的（因为零概率事件和必然事件与任何事件都独立）。所以我们主要讨论 $0 < P(B) < 1$ 的一般情况。

3. 利用已知等式进行推导

将条件概率公式代入已知等式中：
$\frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$

我们知道，事件 $A$ 可以分解为互斥的两部分：$A = AB \cup A\overline{B}$，因此：
$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B}) \implies P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$

同时，$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$。将这些代入上面的等式：
$\frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}$

4. 交叉相乘并化简

将等式两边交叉相乘：
$P(AB) \cdot (1 - P(B)) = P(B) \cdot (P(A) - P(AB))$

展开两边：
$P(AB) - P(AB)P(B) = P(A)P(B) - P(AB)P(B)$

等式两边同时消去 $-P(AB)P(B)$ 项：
$P(AB) = P(A)P(B)$

5. 得出结论

推导结果表明，在 $0 < P(B) < 1$ 的情况下，由 $P(A \mid B) = P(A \mid \overline{B})$ 可以严格得出 $P(AB) = P(A)P(B)$，这正是事件 $A, B$ 相互独立的定义。

结合前面提到的边界情况（$P(B) = 0$ 或 $P(B) = 1$ 时，$A, B$ 也必然独立），我们可以确定：只要条件概率有意义（或按独立性的普遍结论），该等式成立时 $A, B$ 必然相互独立。

最终答案

该命题是正确的。

正确选项：B （✔）